Normallik Testi: Normal Dağılım Nasıl Sınanır?

Normallik testi, bir verinin normal dağılımlı bir kitleden gelmiş olabileceğini sınayan istatistiksel testtir; en çok kullanılanları Shapiro-Wilk ve Kolmogorov-Smirnov (Lilliefors düzeltmeli) testleridir. Normallik yalnız bu testlerle değil, histogram, Q-Q grafiği ve çarpıklık ile basıklık katsayılarıyla birlikte değerlendirilir; testin p değeri tek başına hangi analizin yapılacağını belirlemez.

Normallik testi nedir?

Normal dağılım, ortalaması çevresinde simetrik, çan biçimli bir dağılımdır ve iki değerle tanımlanır: ortalama (μ) ve standart sapma (σ). Değerlerin yaklaşık %68’i ortalamadan en çok bir standart sapma, yaklaşık %95’i en çok 1,96 standart sapma uzaktadır. Ortalama, ortanca ve tepe değer aynı noktadadır; iki kuyruk da aynı hızla incelir.

Bir normallik testi şu hipotezleri sınar:

• H₀: Veri normal dağılımlı bir kitleden gelir.
• H₁: Veri normal dağılımlı bir kitleden gelmez.

p değeri küçükse (ör. p < .05) H₀ reddedilir: veri tam bir normal dağılımla uyumlu değildir. p değeri büyükse H₀ reddedilemez; bu, verinin normal olduğunu kanıtlamaz, yalnızca bu örneklemle normallikten bir sapma saptanamadığını gösterir. Test, sapmanın büyüklüğünü değil varlığını sorar. Gerçek verilerin hiçbiri tam olarak normal değildir; asıl soru sapmanın kullanılacak analizi bozacak kadar büyük olup olmadığıdır. Hipotez kurma ve sınama mantığı burada da aynıdır.

Normallik neden ve ne zaman önemlidir?

Bağımsız örneklem t-testi ve tek yönlü ANOVA ortalamaları karşılaştırır. Bu testlerin normallik varsayımı gruplardaki dağılımla ilgilidir; ama testin geçerliliği için asıl gereken, grup ortalamalarının örnekleme dağılımının yaklaşık normal olmasıdır. Kitle normal dağılıyorsa ortalamanın örnekleme dağılımı her örneklem büyüklüğünde normaldir. Kitle normal değilse merkezi limit teoremi gereği örneklem büyüdükçe ortalamanın dağılımı yine normale yaklaşır. Bu yüzden t-testi ve ANOVA, örneklem büyüdükçe normallikten sapmaya daha dayanıklı hâle gelir (Lumley vd., 2002). Yeterli büyüklük dağılımın biçimine bağlıdır: hafif çarpık bir dağılımda orta büyüklükte gruplar yeter, çok çarpık ya da uç değerli bir dağılımda çok daha büyük gruplar gerekir.

Normallik en çok şu durumlarda önem taşır:

• Gruplar küçükse. Merkezi limit teoreminin desteği zayıftır; birkaç uç değer ortalamayı ve standart sapmayı belirgin biçimde değiştirebilir.
• Dağılım belirgin biçimde çarpık ya da ağır kuyrukluysa. Ortalama “tipik” değeri iyi özetlemez ve test gücünü yitirir.
• Güven aralığı ya da tahmin aralığı bireysel değerler için kuruluyorsa. Ortalamaya değil tek tek gözlemlere ilişkin aralıklar normallikten çok daha fazla etkilenir.

Normallik ham veride değil, testin kullandığı birimde incelenir:

• Bağımsız gruplar: Her grubun dağılımı ayrı ayrı incelenir. Bütün gruplar birleştirilip tek bir normallik testi yapılırsa grup farkının kendisi de dağılımı bozar.
• Eşleştirilmiş desen: Bağımlı örneklem t-testinde iki ölçümün kendisi değil, aralarındaki farklar incelenir.
• Regresyon: Bağımlı ya da bağımsız değişkenlerin değil, modelin artıklarının normalliğine bakılır (basit doğrusal regresyon yazısında artık grafikleri anlatılır).

Normallik nasıl incelenir?

Üç araç birlikte kullanılır: grafikler sapmanın biçimini, çarpıklık ve basıklık büyüklüğünü, normallik testleri ise anlamlılığını gösterir.

Grafikler: histogram ve Q-Q grafiği

Histogram, dağılımın simetrik olup olmadığını, kaç tepesi olduğunu ve uç değerleri gösterir. Görünüşü sınıf sayısına bağlıdır; küçük örneklemde normal bir veri bile düzensiz görünebilir.

Q-Q grafiği (nicelik-nicelik grafiği), sıralanmış gözlemleri normal dağılımın aynı sıradaki beklenen değerleriyle karşılaştırır. Veri normalse noktalar düz bir çizgi üzerinde dizilir. Gözlenen değerler dikey eksendeyse sağa çarpık veride noktalar iki uçta da çizginin üstüne çıkarak yukarı doğru kavis çizer; ağır kuyruklu veride uçlar çizgiden ters yönlere ayrılır: sol uç aşağıya, sağ uç yukarıya. Desen, gözlenen değerlerin hangi eksende çizildiğine bağlıdır; programlar bunu farklı yapabildiği için yorumlamadan önce eksen başlıklarına bakın. Q-Q grafiği sapmanın verinin hangi bölümünde olduğunu histogramdan daha açık gösterir.

Çarpıklık ve basıklık katsayıları

Çarpıklık dağılımın simetriden, fazla basıklık ise kuyruk ağırlığının normal dağılımdan ne kadar ayrıldığını ölçer. Normal dağılımda ikisi de sıfırdır. Pozitif çarpıklık sağ kuyruğun uzun olduğunu, pozitif fazla basıklık kuyrukların normalden ağır olduğunu gösterir.

SPSS’in ve Excel’in (SKEW, KURT) raporladığı değerler, yanlılığı düzeltilmiş G1 ve G2 katsayılarıdır (Joanes ve Gill, 1998). $m_k$, ortalamadan sapmaların k’inci kuvvetlerinin ortalaması olmak üzere:

Her katsayının standart hatası (SE) yalnız örneklem büyüklüğüne bağlıdır:

Katsayının kendi standart hatasına oranı bir z değeridir ($z = G_1 / SE_{G_1}$) ve katsayının sıfırdan anlamlı farkını sınar. Standart hata örneklem büyüdükçe küçüldüğü için z de büyür: büyük örneklemde çok küçük bir çarpıklık bile anlamlı bir z verir. Kim (2013), z ölçütünü küçük örneklemler için önerir; örneklem büyüdükçe z yerine katsayının mutlak değerine ve histograma bakılmasını önerir.

Normallik testleri: Shapiro-Wilk ve Kolmogorov-Smirnov

Shapiro-Wilk testi, sıralanmış gözlemlerin normal dağılımdan beklenen sıralı değerlerle ne kadar uyumlu olduğunu ölçer (Shapiro ve Wilk, 1965). W istatistiği 0 ile 1 arasındadır; 1’e yakın değerler normalle uyumu gösterir. Simülasyon çalışmalarında, karşılaştırılan normallik testleri arasında çoğu dağılımda en güçlü test olarak bulunmuştur (Razali ve Wah, 2011).

Kolmogorov-Smirnov testi, verinin birikimli dağılımı ile normal dağılımınki arasındaki en büyük farka (D) bakar. Klasik biçimi normal dağılımın ortalamasının ve standart sapmasının önceden bilindiğini varsayar. Bu değerler örneklemden tahmin edildiğinde Lilliefors düzeltmesi gerekir (Lilliefors, 1967). SPSS’in Explore çıktısındaki Kolmogorov-Smirnov satırı bu düzeltmeyi kullanır; düzeltmesiz biçim normallikten sapmaları gereğinden seyrek yakalar. Lilliefors testi de genellikle Shapiro-Wilk testinden daha az güçlüdür.

İki testin ortak sınırlılığı örneklem büyüklüğüne bağlılıklarıdır. Küçük örneklemde güçleri düşüktür: analizi gerçekten etkileyebilecek bir sapmayı kaçırabilirler. Büyük örneklemde ise çok güçlüdürler ve analizi hiç etkilemeyecek önemsiz sapmaları da anlamlı bulurlar. Yani t-testinin normallikten en çok etkilendiği durumda (küçük gruplar) test en az bilgiyi verir, en az etkilendiği durumda (büyük gruplar) en sık alarm verir (Rochon vd., 2012).

Araç	Ne gösterir	Güçlü yanı	Sınırlılığı
Histogram	Dağılımın biçimi, tepe sayısı, uç değerler	Okunması kolay	Sınıf sayısına bağlı; küçük örneklemde düzensiz görünür
Q-Q grafiği	Sapmanın verinin hangi bölümünde olduğu	Kuyruklardaki sapmayı iyi gösterir	Yorumu deneyim ister; ölçüt değil
Çarpıklık ve basıklık (G1, G2)	Sapmanın yönü ve büyüklüğü	Büyüklüğü sayıyla verir; eşikle karşılaştırılabilir	Küçük örneklemde kararsız; uç değerlere duyarlı
z (katsayı / SE)	Katsayının sıfırdan anlamlı farkı	Küçük örneklemde ek bilgi verir	Örneklem büyüdükçe şişer
Shapiro-Wilk	Tam normallik hipotezinin sınaması	Normallik testleri arasında çoğu durumda en güçlüsü	Küçük örneklemde güçsüz, büyük örneklemde aşırı duyarlı
Kolmogorov-Smirnov (Lilliefors)	Tam normallik hipotezinin sınaması	Yaygın olarak raporlanır	Shapiro-Wilk’ten daha az güçlü; düzeltmesiz biçimi yanıltır

Belirgin normal dışılık için hangi eşik kullanılmalı?

Bu yazıda önerilen ölçüt, bir grubun (eşleştirilmiş desende farkların) mutlak çarpıklığı 2’yi ya da mutlak fazla basıklığı 7’yi aşıyorsa dağılımın belirgin biçimde normal dışı sayılmasıdır: |G1| > 2 ya da |G2| > 7. West, Finch ve Curran (1995) bu değerleri belirgin normal dışılık için önerir. Eşik bir büyüklük ölçütüdür: örneklem büyüdükçe kendiliğinden aşılmaz, normallik testlerinin örneklem büyüklüğüne bağlılığından etkilenmez.

Bu ölçüt test seçimine şöyle bağlanır:

• Varsayılan parametrik testtir: iki grupta Welch t-testi, üç ve daha çok grupta Welch ANOVA ve Games-Howell karşılaştırmaları, tek örneklemde ve eşleştirilmiş desende t-testi.
• Parametrik olmayan karşılığı iki durumda birincil test olur: bağımlı değişken sıralı ölçekteyse (ör. tek bir Likert maddesi; tanım yoksa en çok 7 farklı tam sayı alan değişken) ya da bir grup belirgin biçimde normal dışıysa. Sıralı ölçekte tek örneklem ve eşleştirilmiş desende işaret testi kullanılır.
• Öteki test duyarlılık analizi olarak raporlanır. İki testin sonucu ayrışıyorsa bu ayrışma da raporda yazılır.
• Shapiro-Wilk ve Levene testleri raporlanır ama testi belirlemez.

Hangi testin hangi desende kullanıldığı istatistiksel test seçimi rehberinde ayrıntılı tablolarla verilir.

”Shapiro-Wilk anlamlıysa parametrik olmayan test” doğru mu?

Hayır. Bu kural, sık görülen ama savunulamayan bir iki aşamalı yoldur: önce normallik testi yapılır, p < .05 ise Mann-Whitney U testine, değilse t-testine geçilir. Bu yolun üç sorunu vardır:

1. Soru yanlış: Shapiro-Wilk tam normalliği sınar; t-testinin ihtiyacı ise yaklaşık normalliktir ve örneklem büyüdükçe azalır.
2. Örneklem büyüklüğü kararı ters çevirir: Büyük gruplarda, t-testinin en dayanıklı olduğu yerde, test neredeyse her zaman anlamlı çıkar; küçük gruplarda, t-testinin en kırılgan olduğu yerde, sapmayı çoğu zaman kaçırır.
3. Karar aynı veriye iki kez dayanır: Test seçimi aynı verideki bir ön teste bağlandığında, sonraki testin birinci tür hata oranı artık o testin tek başına kullanıldığındaki oran değildir. Rochon vd. (2012), iki bağımsız grup karşılaştırmasında ön testin sonraki testin koşullu hata oranını belirgin biçimde bozduğunu ve bu yolun biçimsel açıdan hatalı olduğunu gösterdi. İki aşamalı yolun bütününün hata oranı kabul edilebilir kalsa da ön test gereksizdir: büyük örneklemde t-testi dayanıklıdır, küçük örneklemde Shapiro-Wilk testinin gücü yetersizdir.

Shapiro-Wilk sonucunu raporlamak doğrudur; okura dağılım hakkında bilgi verir. Yanlış olan, test seçimini yalnız o p değerine bağlamaktır.

Çözümlü örnek: iki lisede günlük ekran süresi

Bir araştırmacı iki lisenin öğrencilerinin akıllı telefonda geçirdiği süreyi karşılaştırmak istiyor. Her okuldan 40 öğrencinin hafta içi bir gündeki ekran süresi, telefonun kendi kaydından dakika olarak alınıyor. Karşılaştırmadan önce her okulun dağılımı ayrı ayrı inceleniyor. Veri öğretici amaçla hazırlanmıştır; aşağıdan indirip aynı hesabı kendiniz yapabilirsiniz.

A Okulu	B Okulu
118	90
95	72
142	110
160	85
88	260
125	95
210	64
102	120
135	78
75	102
150	540
112	88

İlk 12 satır (toplam 40) · Bu örnekteki tüm sayılar SciPy 1.16.3 ile bağımsız olarak yeniden hesaplanır. Veriyi indirin (CSV)

Ölçü	A Okulu	B Okulu
n	40	40
Ortalama	139.45	135.45
Standart sapma	49.51	98.60
Ortanca	129	106.5
Çarpıklık G1 (SE)	0.84 (0.37)	2.71 (0.37)
z (çarpıklık)	2.25	7.25
Fazla basıklık G2 (SE)	0.00 (0.73)	8.04 (0.73)
z (basıklık)	0.00	10.97
Shapiro-Wilk	W = .93, p = .018	W = .68, p < .001
Lilliefors	D = .13, p = .085	D = .24, p < .001

A Okulu. Dağılım hafifçe sağa çarpık: birkaç öğrencinin uzun ekran süresi sağ kuyruğu uzatıyor ve ortalamayı ortancanın üstüne çekiyor. Shapiro-Wilk testi normalliği reddediyor, çarpıklığın z değeri de 1,96’yı aşıyor. Ama çarpıklık G1 = 0.84 ve fazla basıklık neredeyse sıfır; ikisi de eşiğin çok altında. Aynı veride Lilliefors testi normalliği reddetmiyor: iki test aynı veride bile farklı sonuç verebilir. Bu dağılım ortalamaların karşılaştırılmasını bozacak bir sapma göstermiyor.

B Okulu. Öğrencilerin çoğu A Okulu’ndakilere benzer sürelerde, ama birkaç öğrencinin süresi ötekilerin birkaç katı. Çarpıklık (G1 = 2.71 > 2) ve fazla basıklık (G2 = 8.04 > 7) iki eşiği de aşıyor; standart sapma A Okulu’nun yaklaşık iki katı ve ortalama ile ortanca arasındaki fark büyük. Bu dağılım belirgin biçimde normal dışıdır.

Karar. İki okulda da Shapiro-Wilk testi anlamlı, ama yalnız B Okulu belirgin biçimde normal dışı. Bu yazıdaki ölçüte göre iki grubu karşılaştırırken bir grubun belirgin biçimde normal dışı olması yeter: Mann-Whitney U testi birincil test olur, Welch t-testi duyarlılık analizi olarak yanında raporlanır. Yayılımlar farklı olduğundan Mann-Whitney U sonucu ortanca farkı olarak değil, bir okuldaki sürelerin ötekinden büyük çıkma eğilimi olarak okunur. Yalnız A Okulu’na benzer iki grup karşılaştırılsaydı Shapiro-Wilk anlamlı olsa da Welch t-testi birincil kalırdı. Normallik ham verinin tamamında değil, her okulda ayrı incelendi.

Bu örnek için normallik bulguları şöyle raporlanabilir:

Ekran süresinin dağılımı A Okulu’nda hafifçe sağa çarpıktır (G1 = 0.84, G2 = 0.00; Shapiro-Wilk W = .93, p = .018). B Okulu’nda dağılım belirgin biçimde normal dışıdır (G1 = 2.71, G2 = 8.04; Shapiro-Wilk W = .68, p < .001). Bu nedenle okullar Mann-Whitney U testiyle karşılaştırılmış, Welch t-testi duyarlılık analizi olarak raporlanmıştır.

Veri normal dağılmıyorsa ne yapılır?

1. Nedenine bakın. Belirgin normal dışılığın kaynağı bir veri girişi hatası, iki farklı alt grubun karışması ya da ölçeğin taban veya tavan etkisi olabilir. Süre, gelir ve sayım gibi değişkenler doğası gereği sağa çarpıktır.
2. Uç değerleri gerekçesiz silmeyin. Ölçüm hatası olduğu belgelenen değer düzeltilir; gerçek ama uç bir değer veridir. Silme kararı ve gerekçesi raporda yazılır.
3. Sapma belirgin değilse parametrik testi sürdürün. Welch t-testi ve Welch ANOVA hafif ve orta düzeydeki sapmalara dayanıklıdır.
4. Sapma belirginse parametrik olmayan karşılığı birincil test yapın: iki bağımsız grupta Mann-Whitney U, üç ve daha çok grupta Kruskal-Wallis H testi, aralıklı ölçekteki eşleştirilmiş desende Wilcoxon işaretli sıralar testi. Bu testler sıralar üzerinden çalışır ve ortalamaları karşılaştırmaz; sonuç ortalama farkı olarak yorumlanmaz.
5. Dönüşümü düşünün. Pozitif ve sağa çarpık bir değişkende logaritma dönüşümü dağılımı simetrikleştirebilir. Dönüşüm, analiz planında veri görülmeden öngörülmüşse kullanılır; soru ortalamalar farkından geometrik ortalamaların oranına döner: logaritmik ölçekteki fark, geri dönüştürüldüğünde geometrik ortalamaların oranı olarak okunur.
6. Özeti dağılıma uydurun. Belirgin çarpık bir değişkende ortalama ve standart sapmanın yanında ortanca ve çeyrekler arası genişlik de verilir (dağılım ölçüleri).

Sık sorulan sorular

Shapiro-Wilk mi, Kolmogorov-Smirnov mu kullanılmalı?

Shapiro-Wilk. Çoğu durumda normallikten sapmayı daha iyi yakalar. Kolmogorov-Smirnov kullanılacaksa Lilliefors düzeltmeli biçimi seçilir. İkisi de raporlanabilir, ama hiçbiri test seçimini tek başına belirlemez.

Normallik testi kaç gözlemle yapılabilir?

Shapiro-Wilk testi en az 3 gözlemle hesaplanır; R’nin shapiro.test işlevi 5.000 gözleme kadar çalışır. Ama çok küçük örneklemde testin gücü düşük, çok büyük örneklemde sonucu önemsiz sapmalarla anlamlıdır. Her örneklem büyüklüğünde grafik ve çarpıklık ile basıklık katsayıları birlikte yorumlanır.

Çarpıklık ve basıklık hangi aralıkta olmalı?

Kesin bir aralık yoktur; farklı kaynaklar farklı pratik kurallar önerir. Bu yazıda kullanılan eşik |G1| > 2 ya da |G2| > 7’dir (West vd., 1995). Değerin SPSS’teki gibi fazla basıklık (normalde sıfır) olduğuna dikkat edin; bazı programlar basıklığı normalde 3 olacak biçimde verir.

Likert verisinde normallik testi yapılır mı?

Tek bir Likert maddesi sıralı ölçekte bir değişkendir; normallik testinin sonucu ne olursa olsun parametrik olmayan test kullanılır. Birçok maddenin toplamı ya da ortalaması olan ölçek puanı ise genellikle sürekli kabul edilir ve dağılımı yukarıdaki gibi incelenir.

Normallik testi anlamlı çıktı; t-testi yapamaz mıyım?

Yapabilirsiniz. Anlamlı bir Shapiro-Wilk sonucu, sapmanın varlığını gösterir, büyüklüğünü değil. Gruplarda çarpıklık ve basıklık eşiğin altındaysa ve grafiklerde belirgin bir sorun yoksa Welch t-testi birincil test olarak kalır; Shapiro-Wilk sonucu raporda yine yer alır.

Korelasyonda normallik nasıl değerlendirilir?

Pearson korelasyonunun anlamlılık testi iki değişkenin birlikte yaklaşık normal dağılmasını varsayar. Değişkenlerden biri sıralıysa ya da belirgin biçimde normal dışıysa Spearman korelasyonu birincil ölçü olarak kullanılır.