Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA): Nasıl Yapılır?

Tek yönlü varyans analizi (ANOVA), üç ya da daha fazla bağımsız grubun ortalamalarını karşılaştıran parametrik bir testtir. Grupların ortalamaları arasındaki değişkenliği grup içindeki değişkenlikle karşılaştırır ve tüm grup ortalamalarının eşit olduğunu söyleyen yokluk hipotezini tek bir F testiyle sınar. Anlamlı sonuçta hangi grupların farklı olduğu ikili karşılaştırmalarla belirlenir.

Ne zaman kullanılır?

Tek bir kategorik bağımsız değişkenin (faktör) üç ya da daha fazla düzeyini, sürekli bir bağımlı değişken üzerinde karşılaştırmak için kullanılır: üç öğretim yöntemi, dört ilaç dozu, beş gübre türü gibi. “Tek yönlü” sözcüğü tek bir faktör olduğunu anlatır. Testin iki biçimi vardır: klasik (Fisher) ANOVA, kısaca klasik F testi, grupların varyanslarının eşit olduğunu varsayar; Welch ANOVA varsaymaz. Tablodaki ANOVA satırı Welch ANOVA’yı gösterir; nedeni Varsayımlar bölümündedir. Doğru test verinin yapısına göre seçilir:

Durum	Uygun test
3+ bağımsız grup, gruplar yaklaşık normal	Tek yönlü ANOVA (Welch)
3+ bağımsız grup, normallik belirgin biçimde bozuk ya da veri sıralı	Kruskal-Wallis H testi
Yalnızca 2 bağımsız grup	Bağımsız örneklem t-testi
Aynı kişilerin 3+ ölçümü	Tekrarlı ölçümler ANOVA ya da Friedman testi
İki ya da daha fazla faktör	İki yönlü (faktöriyel) ANOVA

Varsayımlar

1. Sürekli bağımlı değişken: Ölçüm aralıklı ya da oranlı ölçektedir.
2. Bağımsız gruplar ve gözlemler: Her kişi yalnızca bir grupta yer alır ve kişilerin ölçümleri birbirini etkilemez.
3. Normallik: Her gruptaki değerler yaklaşık normal dağılır. Grup başına gözlem arttıkça ANOVA bu varsayıma daha az duyarlı hâle gelir; küçük gruplarda Shapiro-Wilk testi ve histogramlara bakılır.
4. Varyansların eşitliği yalnızca klasik F testi için gerekir. Welch ANOVA grupların varyanslarını ayrı ayrı kullanır ve bu varsayımı istemez (Welch, 1951).
5. Belirgin aykırı değer olmaması: Tek bir aşırı değer bir grubun ortalamasını ve varyansını belirgin biçimde değiştirebilir.

Varyanslar ve grup büyüklükleri birlikte farklıysa klasik F testinin birinci tür hata oranı belirgin biçimde kayar. Grup büyüklükleri eşitken klasik F varyans farklarına görece dayanıklıdır; yine de varyanslar arasındaki oran büyüdükçe hata oranı hafifçe kayabilir. Welch ANOVA varyanslar eşit değilken de birinci tür hata oranını korur, varyanslar eşitken de güç kaybı küçüktür. Bu yüzden Delacre vd. (2019) Welch ANOVA’nın varsayılan olarak kullanılmasını önerir.

Önce Levene testine bakıp sonucuna göre klasik F testi ya da Welch ANOVA seçmek de önerilmez: varyans eşitliği testleri gerçekte var olan farkları çoğu zaman yakalayamaz (Delacre vd., 2019). Levene testi yine de raporlanabilir: grupların yayılımının farklı olması kendi başına bir bulgudur.

Hipotezler

• H₀: μ₁ = μ₂ = … = μₖ (tüm grupların kitle ortalamaları eşittir)
• H₁: En az bir grubun kitle ortalaması diğerlerinden farklıdır

H₁ bütün ortalamaların farklı olduğunu söylemez; bu yüzden anlamlı bir F’den sonra ikili karşılaştırma gerekir.

Formül ve hesaplama

ANOVA, toplam değişkenliği iki parçaya ayırır: grup ortalamalarının genel ortalamadan sapması (gruplar arası) ve her değerin kendi grup ortalamasından sapması (grup içi). k grup sayısı, N toplam gözlem sayısıdır:

KT kareler toplamı, KO kareler ortalamasıdır (SPSS çıktısında “Between Groups” ve “Within Groups” satırları). H₀ doğruysa F, (k − 1, N − k) serbestlik dereceli F dağılımına uyar.

Welch ANOVA her grubu, ortalamasının varyansının (sⱼ² / nⱼ) tersiyle ağırlıklandırır: küçük varyanslı ve kalabalık gruplar daha çok ağırlık alır. nⱼ, x̄ⱼ ve sⱼ² j. grubun büyüklüğü, ortalaması ve varyansı; wⱼ = nⱼ / sⱼ² grubun ağırlığı, W = Σ wⱼ ağırlıkların toplamı ve x̄′ = Σ wⱼ x̄ⱼ / W ağırlıklı genel ortalamadır. Welch F’si ($F_W$) şöyle hesaplanır (Welch, 1951):

Λ, grupların ağırlık paylarından ve büyüklüklerinden hesaplanan bir düzeltme terimidir:

H₀ doğruysa Welch F’si yaklaşık olarak (k − 1, (k² − 1) / (3Λ)) serbestlik dereceli F dağılımına uyar; payda serbestlik derecesi genellikle tam sayı değildir. Etki büyüklüğü olarak eta-kare raporlanır (Lakens, 2013):

η² kareler toplamından hesaplanır; klasik F testi ile Welch ANOVA arasındaki seçimden etkilenmez. Küçük örneklemlerde kitledeki etkiyi biraz abartır; bu yüzden bazı araştırmacılar daha az yanlı olan omega-kareyi (ω²) tercih eder.

Neden ayrı ayrı t-testleri yapılmaz?

Üç grubu ikişer ikişer üç ayrı t-testiyle karşılaştırmak birinci tür hata oranını şişirir. Her test α = .05 ile yapılırsa, en az bir yanlış anlamlı sonuç bulma olasılığı yaklaşık 1 − .95³ ≈ .14’e çıkar (testleri bağımsız sayan yaklaşık bir hesap). ANOVA “ortalamaların hepsi eşit mi?” sorusunu tek testle yanıtlar; ikili karşılaştırmalar ise bu hata oranını denetleyen düzeltmelerle yapılır.

Çözümlü örnek: üç çalışma yöntemi

Bir eğitim araştırmacısı 36 öğrenciyi üç çalışma yöntemine rastgele atıyor: metni tekrar okuma, özet çıkarma ve konuyla ilgili sorularla kendini sınama. Bir hafta sonra bütün öğrencilere aynı sınav uygulanıyor. Kendini sınamanın uzun süreli hatırlamayı artırdığı deneysel çalışmalarda gösterilmiştir (Roediger ve Karpicke, 2006). Veri öğretici amaçla hazırlanmıştır; aşağıdan indirip aynı analizi kendiniz yapabilirsiniz.

tekrar_okuma	ozet_cikarma	kendini_sinama
68	67	53
61	67	82
59	69	68
56	63	66
60	46	73
67	54	78
48	58	70
48	67	64
64	62	73
52	59	78
63	60	64
73	73	82

Veri · Bu örnekteki tüm sayılar SciPy 1.16.3 ve statsmodels 0.14.6 ile bağımsız olarak yeniden hesaplanır. Veriyi indirin (CSV)

Grup	n	Ortalama	SS
Tekrar okuma	12	59.92	7.84
Özet çıkarma	12	62.08	7.35
Kendini sınama	12	70.92	8.55

Tabloda SS standart sapmadır. Shapiro-Wilk testi üç grupta da normallikten belirgin bir sapma göstermiyor (tekrar okuma p = .820, özet çıkarma p = .702, kendini sınama p = .590). Grupların standart sapmaları birbirine yakın; ortalamaya göre merkezlenmiş Levene testi (SPSS’teki ve Basira’daki biçim) de varyanslar arasında anlamlı bir fark bulmuyor, F(2, 33) = 0.19, p = .827. Welch ANOVA baştan kullanıldığı için bu sonuç seçimi değiştirmiyor. Analizin sonucu:

• Welch F(2, 21.92) = 5.77, p = .010
• Etki büyüklüğü η² = .28
• Games-Howell ikili karşılaştırmaları (varyansların eşitliğini gerektirmeyen post-hoc test; aşağıda):
  • tekrar okuma ile özet çıkarma: p = .767
  • tekrar okuma ile kendini sınama: p = .009
  • özet çıkarma ile kendini sınama: p = .033

Gruplar eşit büyüklükte ve varyansları birbirine yakın olduğu için klasik F testi de aynı sonuca varıyor, F(2, 33) = 6.47, p = .004. Basira’nın Akıllı Mod’u bu örnekte klasik F testini ve Tukey HSD’yi seçer (aşağıda).

Sonucun yorumu

Welch ANOVA’ya göre üç yöntemin sınav puanı ortalamaları arasında anlamlı bir fark vardır. Etki büyüklüğü η² = .28, puanlardaki toplam değişkenliğin yaklaşık %28’inin çalışma yöntemiyle açıklandığını gösterir. Bu büyük bir etkidir: Cohen (1988) .14 ve üzerini büyük etki sayar. Games-Howell karşılaştırmalarına göre kendini sınama grubu, hem tekrar okuma hem de özet çıkarma grubundan anlamlı biçimde daha yüksek puan almıştır. Tekrar okuma ile özet çıkarma arasındaki fark anlamlı değildir; bu, iki yöntemin eşit olduğunu kanıtlamaz, yalnızca bu örneklemle bir fark gösterilemediğini söyler.

Öğrenciler yöntemlere rastgele atandığı için fark yönteme bağlanabilir. Rastgele atama olmayan, var olan grupları (ör. üç farklı okul) karşılaştıran bir çalışmada aynı sonuç yalnızca bir ilişkiyi gösterir.

APA 7’ye göre raporlama

Raporda Welch ANOVA’nın kullanıldığı açıkça yazılır; kesirli serbestlik derecesi bunu okura da gösterir. Grupların ortalama ve standart sapmaları metinde ya da yukarıdaki gibi bir tabloda verilir.

İkili karşılaştırmalar (post-hoc testler)

Anlamlı bir F’den sonra hangi grupların farklı olduğunu belirlemek için kullanılan yaygın testler:

Test	Ne zaman?
Games-Howell	Welch ANOVA’dan sonra bütün grup çiftleri; varyansların eşit olmasını gerektirmez, grup büyüklükleri aynı olsun ya da olmasın (Games ve Howell, 1976)
Tukey HSD	Klasik F testinden sonra bütün grup çiftleri; varyansların eşit olduğunu varsayar. Tukey’nin 1953 tarihli çalışmasında önerdiği yöntemdir (Benjamini ve Braun, 2002); grup büyüklükleri farklıysa Tukey-Kramer biçimi kullanılır (Kramer, 1956)
Dunnett	Yalnızca bir kontrol grubu ile diğer gruplar karşılaştırılacak
Bonferroni	Önceden planlanmış az sayıda karşılaştırma; çift sayısı arttıkça aşırı tutucu olur
Scheffé	İkili olmayan karmaşık karşılaştırmalar da yapılacak; ikili karşılaştırmada en tutucu testtir

Tukey, Dunnett, Bonferroni ve Scheffé’nin standart biçimleri havuzlanmış grup içi varyansı kullanır, yani varyansların eşit olduğunu varsayar. Welch ANOVA’dan sonra yalnız bir kontrol grubu ya da önceden planlanmış birkaç çift karşılaştırılacaksa, bu çiftler Welch t-testleriyle karşılaştırılır ve p değerlerine Bonferroni ya da Holm düzeltmesi uygulanır. Düzeltme yapmayan Fisher LSD, üçten fazla grupta birinci tür hata oranını denetlemediği için önerilmez.

Sık yapılan hatalar

Alternatif testler

• Klasik (Fisher) ANOVA: Varyansların eşitliği desenle ya da önceki çalışmalarla baştan gerekçelendirilebiliyorsa (Levene sonucuna bakarak değil); ikili karşılaştırmalar Tukey HSD ile yapılır. Grup büyüklükleri eşit ve varyanslar birbirine yakınken Welch ANOVA ile yakın sonuç verir.
• Kruskal-Wallis H testi: Normallik belirgin biçimde bozuksa ya da veri sıralıysa; ikili karşılaştırmalar Dunn testiyle yapılır.
• Tekrarlı ölçümler ANOVA: Aynı kişiler her koşulda ölçüldüyse.
• İki yönlü ANOVA: İki faktörün (ör. yöntem ve cinsiyet) etkisi ve etkileşimi birlikte incelenecekse.
• MANOVA: Birden fazla bağımlı değişken birlikte incelenecekse.

Basira’da tek yönlü varyans analizi nasıl yapılır?

1. Yukarıdaki örneğin verisini Veriyi indirin (CSV) bağlantısından indirin; dosya yontem ve puan sütunlarıyla gelir. Basira’da Veri Setlerim → Yeni Veri Seti Yükle ile yükleyin.
2. Analiz Stüdyosu’nda K > 2 Bağımsız Grup Analizi’ni açın ve Akıllı Mod’u seçin.
3. Gruplama Değişkeni (3+ Düzey) olarak yontem, Bağımlı Değişkenler (Sayısal) olarak puan’ı seçin.
4. Akıllı Mod her grupta normalliği Shapiro-Wilk, varyansların eşitliğini Levene testiyle denetler. Bu örnekte ikisi de sağlandığı için klasik (Fisher) ANOVA’yı seçer ve sonuç anlamlı olduğu için Tukey HSD’yi çalıştırır. Varyanslar eşit olmasaydı Welch ANOVA ve Games-Howell, normallik bozuk olsaydı Kruskal-Wallis ve Dunn testini seçerdi. Akıllı Mod’un bu yolu, yukarıda önerilmeyen iki aşamalı yoldur. Bu yüzden Akıllı Mod’un ekranında klasik F(2, 33) = 6.47 ve Tukey karşılaştırmaları görünür; yazıdaki Welch F ve Games-Howell değerleri için 5. adımı izleyin.
5. Welch ANOVA’yı her durumda raporlamak için Manuel Mod’u kullanın: Tek Yönlü ANOVA’yı işaretleyin, Varyans seçeneğini Welch’s (Eşit Olmayan Varyans) yapın ve Post-Hoc altında Games-Howell’i seçin. Manuel Mod’da varyans seçeneği Fisher’s olarak, post-hoc seçimi boş gelir. Varsayım testleri ve betimsel tablo da Manuel Mod’da kapalı gelir: Varsayımlar altında Normallik ve Homojenlik’i, Çıktı altında Betimsel İstatistikler’i de işaretleyin.
6. Sonuçlarda Welch F, kesirli payda serbestlik derecesi, p, η² ve Games-Howell karşılaştırmaları birlikte gelir.

R’de Welch ANOVA oneway.test() ile (varsayılanı Welch’tir), Games-Howell rstatix::games_howell_test() ya da PMCMRplus::gamesHowellTest() ile; Python’da scipy.stats.f_oneway(..., equal_var=False) (SciPy 1.15 ve sonrası) ya da pingouin paketinin welch_anova() ve pairwise_gameshowell() işlevleriyle yapılır. SPSS, jamovi ve JASP’te menülerden yapılır.

Sık sorulan sorular

ANOVA ile t-testi arasındaki fark nedir?

t-testi iki grubu, ANOVA üç ya da daha fazla grubu karşılaştırır. İki grupta klasik F, Student t-testinin; Welch F’si de Welch t-testinin t değerinin karesine eşittir.

Welch ANOVA mı, klasik ANOVA mı kullanmalıyım?

Welch. Varyanslar eşitken iki test yakın sonuç verir. Varyanslar eşit değilken, özellikle grup büyüklükleri de farklıysa, Welch güvenilir kalır, klasik F yanıltabilir. Önce Levene testi yapıp ona göre seçmek önerilmez.

Grup büyüklükleri eşit olmak zorunda mı?

Hayır. Welch ANOVA grup büyüklükleri farklıyken de kullanılır; klasik F testi ise grup büyüklükleri ve varyanslar birlikte farklıysa yanıltıcı olur.

ANOVA anlamlı ama hiçbir ikili karşılaştırma anlamlı değilse?

Bu olabilir: F bütün grupları birlikte değerlendirir, ikili testler ise çoklu karşılaştırma düzeltmesi yüzünden daha tutucudur. Fark, ikili karşılaştırmalarla yakalanamayan bir örüntüde (ör. bir grubun diğer ikisinin ortalamasından farklı olması) olabilir.

Kaç kişiyle çalışmalıyım?

Gereken örneklem, beklenen etki büyüklüğüne ve grup sayısına bağlıdır. Hesabı veri toplamadan önce G*Power gibi bir araçla yapın.