Dağılım Ölçüleri: Açıklık, Varyans, Standart Sapma ve ÇAG

Dağılım ölçüleri, bir veri setindeki değerlerin merkez çevresinde ne kadar yayıldığını tek bir sayıyla özetleyen ölçülerdir. Ortalama ya da ortanca verinin tipik değerini söyler, dağılım ölçüsü ise değerlerin bu tipik değerden ne kadar uzaklaştığını. İki grubu karşılaştırırken, bir ölçümün ne kadar tutarlı olduğunu anlatırken ve testlerin hesabında kullanılır.

Bu yazı, merkezi eğilim ölçülerinin tamamlayıcısıdır: bir dağılımı anlatmak için ikisi birlikte raporlanır.

Dağılım ölçüsü nedir?

Dağılım ölçüsü, değerler birbirine ne kadar benzerse o kadar küçük, ne kadar farklıysa o kadar büyük bir sayıdır. Bütün değerler aynıysa sıfırdır. Aynı ortalamaya sahip iki grup çok farklı biçimde yayılabilir; bu yüzden merkez tek başına bir dağılımı anlatmaya yetmez. Varyans, standart sapma ve ortalama mutlak sapma aralıklı ya da oranlı ölçek ister; açıklık ve çeyrekler sıralı değişkenlerde de kullanılabilir, ancak orada fark olarak değil, değerler olarak (en küçük–en büyük, Q1–Q3) raporlanır; değişim katsayısı yalnızca oranlı ölçekte anlamlıdır.

Açıklık nedir?

Açıklık, en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır. Hesaplaması en kolay dağılım ölçüsüdür, ama yalnızca iki uç değere dayanır: tek bir aykırı değer açıklığı büyük ölçüde değiştirir ve örneklem büyüdükçe açıklık da büyüme eğilimindedir.

Varyans ve standart sapma nedir?

Varyans, değerlerin ortalamadan farklarının karelerinin ortalamasıdır; standart sapma onun kareköküdür. Standart sapma verinin kendi birimindedir (puan, kilogram, dakika), bu yüzden yorumlanması varyanstan kolaydır. n gözlemli bir örneklemde ortalama $\bar{x}$ ise:

Örneklemde paydada n değil n − 1 kullanılır. Farklar kitle ortalamasından değil örneklem ortalamasından hesaplandığı için n’ye bölünen varyans kitle varyansını ortalamada küçük kestirir; n − 1 bu yanlılığı giderir (Moore vd., 2021). n − 1 kullanılsa bile standart sapma, kitle standart sapmasını ortalamada hafifçe küçük kestirir; çünkü karekök almak yansızlığı korumaz. Bütün kitle ölçülmüşse paydada n kullanılır. İstatistik programlarının çoğu varsayılan olarak n − 1 kullanır.

Standart sapma ile ortalamanın standart hatası karıştırılmamalıdır. Standart sapma değerlerin yayılımını, standart hata ise ortalamanın kestirimindeki belirsizliği anlatır ($s / \sqrt{n}$); örneklem büyüdükçe standart hata küçülür, standart sapma küçülmez (Altman ve Bland, 2005).

Ortalama mutlak sapma nedir?

Ortalama mutlak sapma, değerlerin ortalamadan uzaklıklarının mutlak değerlerinin ortalamasıdır. Kareler alınmadığı için büyük sapmaları standart sapma kadar ağırlıklandırmaz. Ortancadan mutlak sapmaların ortancası ise (bu yazıda MAD) aykırı değerlerden çok az etkilenir. Leys vd. (2013), MAD değerini 1,4826 ile çarparak normal dağılımda standart sapmayla aynı ölçeğe getirmeyi ve ortancadan bunun 2,5 katından uzak değerleri aykırı saymayı önerir.

Değişim katsayısı nedir?

Değişim katsayısı, standart sapmanın ortalamaya oranıdır ve çoğunlukla yüzde olarak verilir. Birimden bağımsız olduğu için ortalamaları çok farklı ya da birimleri farklı değişkenlerin yayılımını karşılaştırmaya yarar: bir laboratuvar cihazının ölçüm tutarlılığı ya da iki ürün hattının dolum tutarlılığı gibi.

Değişim katsayısı yalnızca gerçek bir sıfır noktası olan, pozitif değerli oranlı ölçeklerde anlamlıdır. Santigrat sıcaklık gibi aralıklı ölçeklerde ya da ortalaması sıfıra yakın değişkenlerde kullanılmaz.

Çeyrekler arası genişlik nedir?

Çeyrekler arası genişlik (ÇAG), üçüncü çeyrek (Q3) ile birinci çeyrek (Q1) arasındaki farktır; ortadaki %50’lik değerlerin yayıldığı aralığın genişliğidir. Uç değerlerden etkilenmediği için çarpık ya da aykırı değerli veride ortancayla birlikte raporlanır.

Çeyreklerin tek bir hesap yolu yoktur. Hyndman ve Fan (1996) istatistik programlarında kullanılan dokuz tanımı karşılaştırır. Yaygın iki tanım da sıralı değerler arasında ara değerleme yapar; yalnızca konumu farklı hesaplar. R’nin varsayılanı ve Excel’in QUARTILE.INC işlevi 1 + (n − 1)p konumunu kullanır (tip 7); SPSS’in Explore yordamı (“ağırlıklı ortalama”) ve Excel’in QUARTILE.EXC işlevi (n + 1)p konumunu kullanır (tip 6). Küçük örneklemlerde iki yöntem belirgin biçimde farklı çeyrekler verir; bu yüzden raporda hangi yöntemin kullanıldığı belirtilir.

Örnek: aynı ortalama, farklı yayılım

İki sınıftaki 8’er öğrencinin sınav puanları şöyle olsun:

• A sınıfı: 62, 66, 68, 70, 70, 72, 74, 78
• B sınıfı: 45, 55, 62, 70, 72, 80, 86, 90

İki sınıfın ortalaması da 70’tir, ama puanlar çok farklı yayılmıştır:

Ölçü	A sınıfı	B sınıfı
Açıklık	16	45
Varyans (n − 1)	24.00	239.14
Standart sapma	4.90	15.46
Ortalama mutlak sapma	3.50	12.00
ÇAG (tip 7: R, Excel INC)	5.00	21.25
ÇAG (tip 6: SPSS, Excel EXC)	7.00	27.75

A sınıfında varyansın hesabı adım adım şöyledir: ortalamadan farklar −8, −4, −2, 0, 0, 2, 4, 8’dir; karelerinin toplamı 168’dir. Bu toplam n − 1 = 7’ye bölününce varyans 24, karekökü alınınca standart sapma 4,90 olur. n = 8’e bölünseydi varyans 21 çıkardı. Sınav puanı oranlı bir ölçek olmadığı için değişim katsayısı bu örnekte hesaplanmaz.

Tablodaki iki ÇAG satırı aynı veriden iki farklı değer verir: A sınıfında tip 7 ile 5, tip 6 ile 7. İki yöntem de doğrudur; fark yalnızca çeyreklerin tanımındadır ve örneklem büyüdükçe küçülür.

Hangi ölçü ne zaman seçilir?

Durum	Merkez	Dağılım
Simetrik dağılan nicel değişken	Ortalama	Standart sapma
Çarpık ya da aykırı değerli nicel değişken	Ortanca	ÇAG
Oranlı ölçekte birimleri ya da ortalamaları farklı değişkenleri karşılaştırma	—	Değişim katsayısı
Aykırı değer belirleme	Ortanca	Ölçekli MAD (2.5 katı) ya da ÇAG (Q1 − 1.5 × ÇAG, Q3 + 1.5 × ÇAG)
Sıralı değişken	Ortanca	Çeyrekler (Q1–Q3)

Ortalama ile standart sapma, ortanca ile ÇAG birlikte raporlanır. Ortalamanın yanında ÇAG ya da ortancanın yanında standart sapma vermek tutarsızdır ve önerilmez. Frekans dağılımı ve histogram, hangi ikilinin uygun olduğunu gösterir.

Basira’da dağılım ölçüleri

Veri Seti Gezgini’nde sayısal bir değişkenin ayrıntı penceresi ortalamayı, ortancayı, standart sapmayı (n − 1 ile), en küçük ve en büyük değeri, Q1, Q2 ve Q3 ile ÇAG’yi gösterir. Pencerede etiketler İngilizcedir (MEAN, MEDIAN, SD, RANGE, IQR); RANGE alanı farkı değil, en küçük ve en büyük değeri bir ondalıkla yan yana yazar (en küçük - en büyük). Çeyrekler tip 7 ile hesaplanır (yukarıdaki tablonun ilk ÇAG satırı). Varyans ve değişim katsayısı pencerede gösterilmez; varyans standart sapmanın karesidir.

Yalnızca birkaç farklı değer (2–15) alan sayısal değişkenler için ayrıntı penceresi açılmaz. Değişkende 10’dan az gözlem varsa listede ortalama (μ), standart sapma (σ, n − 1 ile), en küçük ve en büyük değer gösterilir; 10 ya da daha çok gözlem varsa bunların yerine küçük bir histogram çizilir. Her sınıfın puanları ayrı bir sütuna girilirse iki sütun da bu gruptadır (7 ve 8 farklı puan, sütun başına 8 gözlem): listede A sınıfı için μ 70.0 ve σ 4.9, B sınıfı için μ 70.0 ve σ 15.5 okunur; çeyrekler ve ÇAG görünmez.

Sık sorulan sorular

Varyansta neden n − 1’e bölünür?

Örneklem ortalaması verinin kendisinden hesaplandığı için değerler ona kitle ortalamasından daha yakındır; n’ye bölünen varyans bu yüzden kitle varyansını ortalamada küçük kestirir. n − 1’e bölmek bu yanlılığı giderir. Bütün kitle ölçülmüşse n’ye bölünür.

Standart sapma ile standart hata arasındaki fark nedir?

Standart sapma değerlerin yayılımını, standart hata ise örneklem ortalamasının kestirimindeki belirsizliği anlatır. Betimleme için standart sapma, kestirim ve güven aralığı için standart hata kullanılır.

Hangi çeyrek yöntemini kullanmalıyım?

Programınızın yöntemini kullanın ve raporda belirtin. Büyük örneklemlerde yöntemler arasındaki fark ihmal edilebilir; küçük örneklemlerde belirgindir.

Standart sapma kaç olursa yüksek sayılır?

Mutlak bir sınır yoktur; standart sapma verinin birimindedir. Farklı birimdeki ya da ortalaması farklı değişkenleri karşılaştırmak için, değişkenler oranlı ölçekteyse değişim katsayısına bakın.

Dağılım ölçüleri hangi testlerde kullanılır?

Standart sapma t-testi ve varyans analizi gibi testlerin hesabının içindedir. Grupların varyanslarının eşitliği bu testlerin klasik sürümlerinin varsayımıdır ve Levene testi gibi testlerle sınanabilir; Welch t-testi ve Welch ANOVA bu varsayımı gerektirmez. Bu konular hipotez testleri üzerinden ilerler.