Wilcoxon İşaretli Sıralar Testi: Ne Zaman ve Nasıl?

Wilcoxon işaretli sıralar testi, aynı kişilerden alınan iki ölçümü (ör. bir uygulamanın öncesi ve sonrası) karşılaştıran parametrik olmayan bir testtir. Her kişinin iki ölçümü arasındaki farkı alır, farkları büyüklüklerine göre sıralar ve pozitif ile negatif farkların sıra toplamlarını karşılaştırır. Farklar belirgin biçimde normal dışı olduğunda bağımlı t-testinin yerine kullanılır.

Wilcoxon işaretli sıralar testi nedir?

Wilcoxon (1945) tarafından önerilen test, eşleştirilmiş farkların dağılımının konumunun sıfırdan farklı olup olmadığını sınar. Farklar simetrikse bu konum medyan farktır; simetrik değilse test farkların sahte medyanını, yani Walsh ortalamalarının (farkların bütün ikili ortalamalarının) medyanını sınar. Bir uygulamanın hiçbir etkisi yoksa, bazı kişilerde değer artar, bazılarında azalır ve artışlar ile azalışlar büyüklük bakımından birbirini dengeler. Test bu dengenin bozulup bozulmadığına bakar.

İşaret testinden farkı, yalnızca farkın yönünü değil büyüklüğünü de kullanmasıdır: 1 puanlık bir düşüş ile 10 puanlık bir düşüş aynı sayılmaz. Bu, testi daha güçlü yapar; ama farkların büyüklüklerinin karşılaştırılabilir olmasını da gerektirir.

Ne zaman kullanılır?

Aynı katılımcılardan iki koşulda ya da iki zamanda ölçüm aldıysanız, ölçüm en az aralıklı ölçekteyse ve farklar belirgin biçimde normal dışıysa (ölçüt tablonun altında) Wilcoxon işaretli sıralar testi uygundur: tedavi öncesi ve sonrası hastanede kalış süresi, çok maddeli bir ölçeğin bir eğitimden önceki ve sonraki toplam puanı, aynı kişilerin iki koşuldaki tepki süresi gibi. Doğru test verinin yapısına göre şöyle seçilir:

Durum	Uygun test
Eşleştirilmiş iki ölçüm, sürekli ölçüm, farklar belirgin biçimde normal dışı değil	Bağımlı (eşleştirilmiş) t-testi
Eşleştirilmiş iki ölçüm, sürekli ölçüm, farklar belirgin biçimde normal dışı (çarpıklık mutlak değerce 2’yi ya da fazla basıklık 7’yi aşıyor)	Wilcoxon işaretli sıralar testi
Eşleştirilmiş iki ölçüm, ölçüm sıralı (ör. tek bir Likert maddesi) ya da yalnızca yön güvenilir	İşaret testi
Aynı kişilerde üç ya da daha fazla ölçüm	Friedman testi
İki bağımsız grup (farklı kişiler)	Mann-Whitney U testi
Tek örneklem, bilinen bir değerle karşılaştırma; veri belirgin biçimde normal dışı	Tek örneklem Wilcoxon (aşağıda); ölçüm sıralıysa ya da soru ortancanın kendisiyse işaret testi

Varsayılan test bağımlı örneklem t-testidir; Shapiro-Wilk testinin anlamlı çıkması tek başına test değiştirmeyi gerektirmez. Ölçüm sıralıysa (ör. tek bir Likert maddesi ya da 1–5 arası bir derecelendirme) Wilcoxon kullanılmaz, işaret testi kullanılır: Wilcoxon farkların büyüklüklerini sıraladığı için en az aralıklı ölçek ister (Conover, 1999). Ölçüm sıralı değil ama farklar belirgin biçimde normal dışıysa Wilcoxon işaretli sıralar testi kullanılır. Bu yazıda (ve Basira’da) kullanılan ölçüt |çarpıklık| > 2 ya da |fazla basıklık| > 7’dir (yanlılığı düzeltilmiş G1 ve G2; SPSS’in Descriptives çıktısındaki Skewness ve Kurtosis değerleri). West, Finch ve Curran (1995) bu değerleri belirgin normal dışılık için önerir; Kim (2013) ise büyük örneklemlerde z değerleri yerine bu katsayıların mutlak değerine bakılmasını önerir.

Varsayımlar

1. Eşleştirilmiş veri: Her kişi (ya da birim) iki ölçümün ikisine de katılır.
2. Farkların ölçeği: Farkların büyüklükleri sıralanacağı için farklar en az aralıklı ölçekte anlamlı olmalıdır. Yalnızca sıralı veride (ör. tek bir Likert maddesi) iki farkın büyüklüğünü karşılaştırmak anlamsızdır; orada işaret testi kullanılır (Conover, 1999).
3. Simetri: Sonucu “medyan fark sıfırdan farklı” diye yorumlayabilmek için farkların dağılımı simetrik olmalıdır.
4. Bağımsız çiftler: Bir kişinin farkı ötekinin farkını etkilemez.

Sıfır farklar bir varsayım değil, bir hesap kararıdır: Wilcoxon’un özgün yönteminde sıfır farklar analizden çıkarılır; Pratt (1959) yöntemi onları sıralamaya katar. Hangi yöntemin kullanıldığı raporda belirtilmelidir.

Hipotezler

• H₀: Farkların dağılımı sıfır etrafında simetriktir (farkların sahte medyanı 0’dır).
• H₁: Farkların sahte medyanı sıfırdan farklıdır; farklar bir yönde ağır basar.

Farklar simetrikse sahte medyan medyan farka eşittir ve hipotezler medyan fark üzerinden okunur (H₀: medyan fark = 0).

Formül ve hesaplama

1. Her kişi için fark alınır: dᵢ = önce − sonra.
2. Sıfır farklar çıkarılır; kalan farkların sayısı n’dir.
3. Farkların mutlak değerleri küçükten büyüğe sıralanır; eşit değerlere ortalama sıra verilir.
4. Pozitif farkların sıraları toplanarak T⁺, negatif farkların sıraları toplanarak T⁻ bulunur.

İki toplam her zaman şu eşitliği sağlar:

Küçük örneklemlerde p değeri, H₀ altındaki kesin dağılımdan bulunur; bağlı ya da sıfır farklar varsa bu, bağları koruyan koşullu kesin dağılımdır. Büyük örneklemlerde T⁺ normal dağılıma yaklaşır:

Etki büyüklüğü olarak eşleştirilmiş sıra çift serili korelasyon kullanılır (Kerby, 2014):

Çözümlü örnek: sınav kaygısı atölyesi

12 öğrencinin sınav kaygısı, kaygıyla başa çıkma atölyesinden önce ve sonra aynı çok maddeli ölçekle ölçülüyor. Kaygı puanı ölçeğin toplam puanıdır ve aralıklı ölçekte kabul edilir. Öğrencilerin çoğunda değişim birkaç puanla sınırlıyken atölyeden önce kaygısı en yüksek olan öğrencinin puanı çok büyük ölçüde düşmüştür; bu tek değer farkları belirgin biçimde sağa çarpık yapar (çarpıklık eşiği aşılır). Bu yüzden bağımlı t-testi yerine Wilcoxon işaretli sıralar testi kullanılıyor. Simetri olmadığı için sonuç medyan fark olarak değil, farkların bir yönde ağır basması olarak okunacak. Veri öğretici amaçla hazırlanmıştır; aşağıdan indirip aynı analizi kendiniz yapabilirsiniz.

once	sonra
42	39
38	39
51	47
35	35
47	45
40	35
44	46
39	36
61	41
36	33
45	43
41	37

Veri · Bu örnekteki tüm sayılar SciPy 1.16.3 ile bağımsız olarak yeniden hesaplanır. Veriyi indirin (CSV)

Grafikte her çizgi bir öğrencidir. Kaygısı azalan 9 öğrenci, artan 2 öğrenci, değişmeyen 1 öğrenci vardır. Değişmeyen öğrencinin farkı sıfır olduğu için analiz n = 11 farkla yapılır. Analizin sonucu:

• T⁺ = 62 (kaygının azaldığı farkların sıra toplamı), T⁻ = 4
• W = 4, p = .008
• Etki büyüklüğü $r_{rb}$ = .88

Sonucun yorumu

Atölye sonrasında sınav kaygısı anlamlı biçimde azalmıştır. Etki büyüklüğü $r_{rb}$ = .88 çok büyüktür: farkların sıra toplamının büyük bölümü azalış yönündedir. $r_{rb}$ +1 olsaydı bütün farklar azalış yönünde olurdu.

Farklar belirgin biçimde çarpık olduğu için bu sonuç “medyan fark sıfırdan farklıdır” diye yorumlanmaz: test farkların sahte medyanını sınar ve sonuç, farkların azalış yönünde ağır bastığını söyler. Yalnız yönü kullanan işaret testi bu veride anlamlı çıkmaz; sorunuz medyan farkın kendisiyse işaret testinin sonucunu da raporlayın.

Bu sonuç atölyenin kaygıyı azalttığını tek başına kanıtlamaz: kontrol grubu yoksa, sınav takviminin yaklaşması ya da ölçümün tekrarlanması gibi başka etkenler de değişimi açıklayabilir. Ortalamaya gerileme de bunlardan biridir: atölyeden önce kaygısı en yüksek çıkan öğrencinin puanı, ölçüm hatasının payı yüzünden ikinci ölçümde atölye olmasa da düşebilir.

APA 7’ye göre raporlama

Raporda kullandığınız istatistiği, sıfır farkların nasıl ele alındığını ve etki büyüklüğünü belirtin:

Yazılımlar aynı test için farklı istatistikler verir: Basira ve SciPy çift yönlü testte küçük sıra toplamını (W = 4), R pozitif farkların sıra toplamını (V = T⁺ = 62), SPSS ise normal yaklaşımdaki z değerini raporlar. Bu örnekte bağlı ve sıfır farklar olduğu için Basira p’yi bağları koruyan koşullu kesin dağılımdan hesaplar; R ise normal yaklaşıma geçer ve biraz farklı bir p verir.

Sık yapılan hatalar

Tek örneklemle kullanım

Wilcoxon işaretli sıralar testi tek bir örneklemle de kullanılır: örneklemin çekildiği kitlenin sahte medyanının (dağılım simetrikse medyanının) belirli bir değerden (ör. bir norm ya da sektör değeri) farklı olup olmadığını sınar. Her gözlemden bu değer çıkarılır ve farklar, eşleştirilmiş desendeki gibi işaretli sıralarla test edilir. Bu kullanım tek örneklem t-testinin parametrik olmayan karşılığıdır; sonucu medyan diye okumak gözlemlerin simetrik dağılmasını ister. Seçim kuralı eşleştirilmiş desendekiyle aynıdır: ölçüm sıralıysa işaret testi, ölçüm sıralı değil ama veri belirgin biçimde normal dışıysa (eşikler yukarıda) Wilcoxon işaretli sıralar testi kullanılır.

Örnek: Bir şirket, çalışan memnuniyetinin sektör değeri olan 3,5’in bir yönünde ağır basıp basmadığını merak ediyor. Puan, çok maddeli bir memnuniyet ölçeğinin ortalamasıdır. Çalışanların çoğu ölçeğin üst ucunda toplanmış, birkaçı çok düşük puan vermiştir; puanlar belirgin biçimde sola çarpık olduğu için tek örneklem t-testi yerine bu test kullanılır. Çalışanların puanlarından 3,5 çıkarılır ve farklar işaretli sıralarla sınanır. Hipotezler: H₀: puanlar 3.5 etrafında simetriktir; H₁: puanların sahte medyanı 3.5’ten farklıdır. Soru ortancanın kendisiyse işaret testi kullanılır.

Alternatif testler

• Bağımlı (eşleştirilmiş) t-testi: Farklar belirgin biçimde normal dışı değilse varsayılan testtir ve ortalama fark hakkında bilgi verir.
• İşaret testi: Farkların yalnızca yönünü kullanır; ölçüm sıralıysa (ör. tek bir Likert maddesi) uygundur (Conover, 1999).
• Friedman testi: Aynı kişilerde üç ya da daha fazla ölçüm varsa.
• Tekrarlı ölçümler varyans analizi: Üç ya da daha fazla ölçümün parametrik karşılığı.

Basira’da Wilcoxon işaretli sıralar testi nasıl yapılır?

1. Yukarıdaki örneğin verisini Veriyi indirin (CSV) bağlantısından indirin, Basira’da Veri Setlerim → Yeni Veri Seti Yükle ile yükleyin.
2. Analiz Stüdyosu’nda Grup Karşılaştırmaları altındaki 2 Bağımlı Grup (Eşleştirilmiş) analizini açın ve Akıllı Mod’u seçin.
3. once ve sonra’yı seçin; beliren once → sonra düğmesiyle çifti ekleyin.

Akıllı Mod testi şu kurala göre seçer:

Bu örnekte Akıllı Mod Wilcoxon işaretli sıralar testini seçer. Sonuçlarda farkların normallik testi (Shapiro-Wilk), betimsel istatistikler, W, p, sıra çift serili $r_{rb}$ ve farkların konumunun Hodges–Lehmann kestirimi (Walsh ortalamalarının medyanı; farklar simetrik değilse medyan fark olarak okunmaz) birlikte gelir.

Sık sorulan sorular

Wilcoxon işaretli sıralar testi normal dağılım gerektirir mi?

Hayır. Farkların normal dağılması gerekmez; ama “medyan fark” yorumu için farkların simetrik dağılması beklenir.

Bağımlı t-testi mi, Wilcoxon mu?

Varsayılan test bağımlı t-testidir: ortalama fark hakkında bilgi verir ve küçük sapmalara dayanıklıdır. Farklar belirgin biçimde normal dışıysa (eşikler yukarıda) Wilcoxon, ölçüm sıralıysa işaret testi kullanılır. Ötekinin sonucunu duyarlılık analizi olarak raporlamak, sonucun teste bağlı olup olmadığını gösterir.

Sıfır farklar ne yapılır?

Wilcoxon’un özgün yönteminde çıkarılır, Pratt yönteminde sıralamaya katılır. Hangisini kullandığınızı ve kaç gözlemin etkilendiğini raporlayın.

Wilcoxon işaretli sıralar testi ile Mann-Whitney U testi aynı şey mi?

Hayır. İşaretli sıralar testi aynı kişilerin iki ölçümünü, Mann-Whitney U testi farklı kişilerden oluşan iki bağımsız grubu karşılaştırır.