Tekrarlı Ölçümler Varyans Analizi: Küresellik ve Örnek

Tekrarlı ölçümler varyans analizi (tekrarlı ölçümler ANOVA), aynı kişilerden üç ya da daha fazla zamanda ya da koşulda alınan ölçümlerin ortalamalarını karşılaştıran parametrik bir testtir. Her kişi kendisiyle karşılaştırıldığı için kişiler arasındaki kalıcı farklar hatadan ayrılır. Sonuç F istatistiği, küresellik düzeltmesi ve etki büyüklüğüyle raporlanır.

Ne zaman kullanılır?

Aynı kişiler birden çok kez ölçüldüğünde kullanılır: bir becerinin üç zamanda izlenmesi, aynı katılımcıların üç farklı koşulda (ör. üç ekran düzeninde) denenmesi gibi. Ölçümler aynı kişilerden geldiği için birbirinden bağımsız değildir; bu yüzden bağımsız gruplar için kullanılan tek yönlü varyans analizi burada uygun olmaz. Doğru test verinin yapısına göre seçilir:

Durum	Uygun test
Aynı kişilerde 3+ ölçüm, sürekli veri, farklar yaklaşık normal	Tekrarlı ölçümler varyans analizi
Aynı kişilerde 3+ ölçüm, veri sıralı ya da normal dağılmıyor	Friedman testi
Aynı kişilerde yalnız 2 ölçüm	Bağımlı örneklem t-testi
Farklı kişilerden oluşan 3+ grup	Tek yönlü varyans analizi
Eksik ölçümler, düzensiz zaman aralıkları	Doğrusal karma model

Varsayımlar

Bağımlı ölçümler: Her kişi bütün koşullarda ölçülür; bir ölçümü eksik olan kişi analizden tümüyle çıkarılır.
Sürekli bağımlı değişken: Ölçüm aralıklı ya da oranlı ölçektedir.
Kişiler arasında bağımsızlık: Bir kişinin ölçümleri ötekinin ölçümlerini etkilemez.
Normallik: Artıklar (ya da koşullar arasındaki farklar) yaklaşık normal dağılır. Örneklem büyüdükçe test bu varsayımın ihlaline daha az duyarlı olur.
Küresellik: Koşul çiftleri arasındaki farkların varyansları eşittir. Üç ve daha çok koşulda gerekir; iki koşulda tek bir fark olduğu için kendiliğinden sağlanır.

Küresellik Mauchly (1940) testiyle sınanır. Test küçük örneklemde ihlali kaçırabilir, büyük örneklemde önemsiz sapmaları anlamlı bulabilir; bu yüzden birçok kaynak ihlalin büyüklüğünü gösteren ε değerine de bakmayı önerir (Maxwell vd., 2018).

Hipotezler

H₀: Bütün ölçümlerin kitle ortalamaları eşittir (μ₁ = μ₂ = … = μₖ).
H₁: En az bir ölçümün ortalaması ötekilerden farklıdır.

Anlamlı bir sonuç hangi ölçümlerin farklı olduğunu söylemez; bunu ikili karşılaştırmalar gösterir.

Formül ve hesaplama

n kişi k koşulda ölçüldüğünde toplam kareler toplamı (SS) üçe ayrılır: koşullar arası ( $SS_{\text{koşul}}$ ), kişiler arası ( $SS_{\text{kişi}}$ ) ve hata ( $SS_{\text{hata}}$ ). Kişiler arası pay hatadan çıkarıldığı için test, kişilerin genel düzeylerindeki farklardan etkilenmez:

F = \frac{SS_{\text{koşul}} / (k - 1)}{SS_{\text{hata}} / \big((k - 1)(n - 1)\big)}

H₀ altında F, (k − 1) ve (k − 1)(n − 1) serbestlik dereceli F dağılımına uyar. Etki büyüklüğü kısmi eta-karedir:

\eta_p^2 = \frac{SS_{\text{koşul}}}{SS_{\text{koşul}} + SS_{\text{hata}}}

Küresellik sağlanmıyorsa F değişmez, ama iki serbestlik derecesi ε ile çarpılarak küçültülür ve p buna göre yeniden hesaplanır. ε, 1/(k − 1) ile 1 arasındadır; 1 küreselliğin tam sağlandığını gösterir. Greenhouse ve Geisser (1959) kestirimi, özellikle ihlal küçükken (ε 1’e yakınken) ε’u olduğundan küçük kestirir ve tutucu kalır; Huynh ve Feldt (1976) kestirimi bu durumda daha isabetlidir, ama ihlal büyükken ε’u abartabilir. Girden (1992), ε .75’ten büyükse Huynh-Feldt, küçükse Greenhouse-Geisser düzeltmesini önerir. “Alt sınır” düzeltmesi ε’u en küçük değeri olan 1/(k − 1) kabul eder ve en tutucu olanıdır.

Çözümlü örnek: dil kursunda hata sayısı

Bir dil kursuna katılan 12 öğrenci kursun başında (0. hafta), 4. ve 8. haftasında aynı türden birer sınava giriyor ve her sınavdaki hata sayısı kaydediliyor. Soru, hata sayısının zaman içinde değişip değişmediği. Veri öğretici amaçla hazırlanmıştır; aşağıdan indirip aynı analizi kendiniz yapabilirsiniz.

Bir dil kursundaki 12 öğrencinin 0., 4. ve 8. haftada aynı türden sınavlarda yaptığı hata sayısı (öğretici veri)

hafta0	hafta4	hafta8
31	25	21
28	25	22
23	23	21
28	28	28
20	20	18
15	12	9
31	36	26
24	26	24
16	14	8
18	16	14
21	18	21
25	25	22

Veri · Bu örnekteki tüm sayılar SciPy 1.16.3 ile bağımsız olarak yeniden hesaplanır. Veriyi indirin (CSV)

Grafikte her çizgi bir öğrencidir. Betimsel istatistikler:

Ölçüm	n	Ortalama	Standart sapma
hafta0	12	23.33	5.50
hafta4	12	22.33	6.71
hafta8	12	19.50	6.24

Analizin sonucu:

Mauchly testi: W = .97, χ²(2) = 0.28, p = .868; küresellik varsayımı reddedilmez (Greenhouse-Geisser ε = .97).
Tekrarlı ölçümler varyans analizi: F(2, 22) = 9.99, p < .001, ηp² = .48.

İkili karşılaştırmalar (eşleştirilmiş t-testi, Bonferroni düzeltmeli p):

1. ile 4. hafta: p = .739
1. ile 8. hafta: p = .006
1. ile 8. hafta: p = .028

Sonucun yorumu

Hata sayısı üç ölçüm arasında istatistiksel olarak anlamlı biçimde değişmiştir. ηp² = .48, kişiler arası farklar dışarıda bırakıldığında hata sayısındaki değişkenliğin yaklaşık yarısının ölçüm zamanıyla ilişkili olduğunu gösterir. İkili karşılaştırmalara göre değişim 8. haftada belirginleşir: 8. haftadaki hata sayısı hem başlangıçtakinden hem 4. haftadakinden düşüktür; başlangıç ile 4. hafta arasındaki fark ise anlamlı değildir.

Bu desende kontrol grubu yoktur. Düşüşü yalnız kursa bağlamak doğru olmaz: öğrenciler aynı türden sınavlara alışmış (alıştırma ya da test etkisi) ya da kurs dışında da çalışmış olabilir. Değişimin kursa bağlanabilmesi için kursa katılmayan, rastgele atanmış bir karşılaştırma grubu gerekir (kontrol edilebilen ve edilemeyen değişkenler).

APA 7’ye göre raporlama

Tekrarlı ölçümler varyans analizi, hata sayısının ölçüm zamanları arasında anlamlı biçimde değiştiğini göstermiştir, F(2, 22) = 9.99, p < .001, ηp² = .48. Mauchly testine göre küresellik varsayımı reddedilmemiştir, W = .97, χ²(2) = 0.28, p = .868; Greenhouse-Geisser ε = .97 de ihlalin önemsiz olduğunu gösterir. Bonferroni düzeltmeli eşleştirilmiş t-testlerine göre 8. haftadaki hata sayısı (M = 19.50, SD = 6.24) başlangıçtakinden (M = 23.33, SD = 5.50; p = .006) ve 4. haftadakinden (M = 22.33, SD = 6.71; p = .028) düşüktür; başlangıç ile 4. hafta arasındaki fark anlamlı değildir (p = .739).

Küresellik ihlal edildiğinde düzeltilmiş serbestlik dereceleri ve kullanılan düzeltme yazılır: ör. Greenhouse-Geisser düzeltmeli F(1.09, 11.95) biçiminde.

Sık yapılan hatalar

Aynı kişilerin ölçümlerine bağımsız gruplar ANOVA’sı uygulamak. Ölçümler bağımsız sayılır, kişiler arası farklar hataya karışır ve test gücünü yitirir.
Küreselliği yok saymak. İhlalde düzeltmesiz p olduğundan küçük çıkar ve 1. tip hata olasılığı büyür.
İkili karşılaştırmalarda düzeltme yapmamak. Üç ölçümde üç, dört ölçümde altı karşılaştırma vardır; Bonferroni ya da Holm düzeltmesi uygulanır.
Kontrol grubu olmadan değişimi müdahaleye bağlamak. Zaman içindeki değişim tekrar etkisinden, olgunlaşmadan ya da dış olaylardan da kaynaklanabilir.
Koşulların sırasını dengelememek. Aynı kişiler bütün koşulları sırayla denediğinde öğrenme, yorgunluk ve taşınma etkisi koşul farkına karışır; koşulların sırası kişiler arasında dengelenir (ör. Latin kare) ve gerekirse araya arınma süresi konur.
Eksik veriyi görmezden gelmek. Tekrarlı ölçümler varyans analizi bir ölçümü eksik olan kişiyi tümüyle dışarıda bırakır; eksik ölçüm çoksa doğrusal karma model düşünülür.

İkili karşılaştırma (post hoc) seçenekleri

Eşleştirilmiş t-testi + Bonferroni: Her ölçüm çiftini ayrı karşılaştırır, p’yi karşılaştırma sayısıyla çarpar; en tutucu seçenektir.
Eşleştirilmiş t-testi + Holm: Bonferroni’nin sıralı, daha güçlü bir sürümüdür; 1. tip hatayı aynı düzeyde tutar.
Önceden planlanmış karşıtlıklar: Yalnız ilgilenilen karşılaştırmalar (ör. her ölçüm başlangıçla) önceden belirlenirse daha az düzeltme gerekir.

Alternatif testler

Friedman testi: Veri sıralıysa ya da farklar normal dağılmıyorsa; ölçümleri her kişinin kendi içindeki sıralarıyla karşılaştırır.
Çok değişkenli yaklaşım (MANOVA): Ölçümler arasındaki farkları birlikte sınar ve küresellik varsaymaz; küçük örneklemde gücü düşüktür (Maxwell vd., 2018).
Doğrusal karma model: Eksik ölçümleri olan kişileri analizden çıkarmaz, düzensiz zaman aralıklarına ve ek değişkenlere izin verir.
Eğilim (polinom) karşıtlıkları: Ölçümler zaman sırasındaysa, değişimin doğrusal mı yoksa eğrisel mi olduğunu sınar.

Basira’da tekrarlı ölçümler varyans analizi nasıl yapılır?

Yukarıdaki örneğin verisini Veriyi indirin (CSV) bağlantısından indirin; dosyada her ölçüm ayrı bir sütun, her satır bir öğrencidir. Basira’da Veri Setlerim sayfasındaki Yeni Veri Seti Yükle düğmesiyle yükleyin. Yükleme önizlemesi az sayıda farklı değer taşıyan bu sütunlar için “3 sütunun tipi gözden geçirilmeli” uyarısı gösterebilir; türlerini sayısal bırakın. Kendi verinizde eksik değer bırakmayın: bir ölçümü eksik olan kişiyi analizden önce veriden çıkarın.
Analiz Stüdyosu’nda Grup Karşılaştırmaları altındaki K > 2 Tekrarlı Ölçüm analizini açın.
Tekrarlı Ölçüm Değişkenleri listesinde hafta0, hafta4 ve hafta8’i zaman sırasıyla tıklayın (seçim sırası ölçüm sırasıdır; gerekirse seçili değişkenin üzerine gelince çıkan oklarla değiştirin) ve Analizi Çalıştır’a tıklayın.
Akıllı Mod her ölçüme ayrı Shapiro-Wilk testi uygular: hepsinde p > .05 ise tekrarlı ölçümler varyans analizini, değilse Friedman testini seçer. Bu örnekte p değerleri .616, .762 ve .170 olduğu için varyans analizini seçer. Varsayım ölçümlerin değil, koşullar arasındaki farkların normalliğidir; ölçüm başına test buna yaklaşık bir denetimdir. Bu örnekte farkların Shapiro-Wilk p değerleri de .540, .428 ve .176’dır.
Sonuçlarda Mauchly testi ve düzeltmesiz satırla üç küresellik düzeltmesini ayrı satırlarda gösteren bir ANOVA tablosu gelir: Küresellik Varsayıldı, Greenhouse-Geisser, Huynh-Feldt ve Alt Sınır (altında Hata satırı). F dört satırda da aynıdır; serbestlik dereceleri ve p değişir. Akıllı Mod’da (ve Manuel Mod’un Otomatik seçeneğinde) Basira, Mauchly testi anlamlı değilse Küresellik Varsayıldı satırını, anlamlıysa Greenhouse-Geisser ε’u .75’ten küçükken Greenhouse-Geisser’i, değilse Huynh-Feldt’i önerir ve önerilen satırı ★ (önerilen) ile işaretler. Etki büyüklüğü olarak ηp² verilir. Akıllı Mod ikili karşılaştırmaları (Bonferroni düzeltmeli eşleştirilmiş t-testleri) yalnız varyans analizi anlamlıysa gösterir; bu örnekte anlamlı olduğu için tablo gelir.
Manuel Mod’da Küresellik Düzeltmesi (Otomatik, Greenhouse-Geisser, Huynh-Feldt, Yok) ve Post-Hoc Karşılaştırmalar (Bonferroni, Holm, Sidak ya da Yok) kendiniz seçilir; Otomatik dışında bir düzeltme seçerseniz ★ o satıra geçer.

Basira ε ve ηp² değerlerini baştaki sıfırla (0.476 gibi) gösterir; APA biçiminde 1’i aşamayan değerler baştaki sıfır olmadan (.48) yazılır. Huynh-Feldt ε’u 1’i aşarsa Basira bunu 1 olarak gösterir.

Sık sorulan sorular

Küresellik nedir, neden önemlidir?

Küresellik, koşul çiftleri arasındaki farkların varyanslarının eşit olmasıdır. Sağlanmadığında düzeltmesiz F testinin 1. tip hata oranı, α = .05 seçildiğinde yüzde 5’in üstüne çıkar; bu yüzden serbestlik dereceleri ε ile küçültülür.

Mauchly testi anlamlıysa ne yapmalıyım?

Greenhouse-Geisser ya da Huynh-Feldt düzeltmeli satırı raporlayın; ε .75’ten küçükse Greenhouse-Geisser, büyükse Huynh-Feldt yaygın bir seçimdir (Girden, 1992). Düzeltmenin adını ve düzeltilmiş serbestlik derecelerini yazın.

Yalnız iki ölçümüm varsa?

İki ölçüm için tekrarlı ölçümler varyans analizi bağımlı örneklem t-testiyle aynı sonucu verir (F = t²) ve küresellik sorunu doğmaz; bağımlı örneklem t-testi yeterlidir.

Bazı kişilerin ölçümleri eksikse?

Tekrarlı ölçümler varyans analizi bu kişileri tümüyle çıkarır; bu hem gücü düşürür hem de eksiklik tümüyle rastgele değilse sonucu yanlı kılabilir. Doğrusal karma model eksik ölçümü olan kişiyi analizde tutar ve eksiklik gözlenen verilerle açıklanabiliyorsa yansız kalır; eksiklik ölçülmeyen değerin kendisine bağlıysa hiçbir yöntem bunu tam düzeltmez.