Ki-Kare Uygunluk Testi: Ne Zaman ve Nasıl Yapılır?

Ki-kare uygunluk testi, tek bir kategorik değişkende gözlenen sayıların önceden belirlenmiş oranlara uyup uymadığını sınayan bir testtir. Bir zarın hilesiz olup olmadığını ya da bir örneklemin kitleyle uyuşup uyuşmadığını sınamak için kullanılır. Bir dağılımın, bilinen eski oranlardan ayrılıp ayrılmadığını da sınar.

Ne zaman kullanılır?

Elinizde tek bir kategorik (nitel) değişken ve her kategori için veriden önce belirlenmiş bir oran varsa kullanılır. Beklenen oranlar üç kaynaktan gelir: bir kuram (ör. kalıtımda 3:1 oranı), eşit dağılım varsayımı ya da kitlenin bilinen dağılımı.

• Örneklem denetimi: Bir anketin katılımcılarının yaş gruplarına dağılımı, kitlenin bilinen dağılımıyla uyuşuyor mu?
• Eşit dağılım: Acil servise yapılan başvurular haftanın günlerine eşit mi dağılıyor?
• Değişim: Bu yılki tercihlerin dağılımı, geçen yılın bütün kayıtlarından hesaplanan oranlarla aynı mı?

Ki-kare uygunluk testi tek değişkenle çalışır. İki kategorik değişkenin ilişkisi araştırılıyorsa ki-kare bağımsızlık testi, önceden belirlenmiş grupların aynı dağılıma sahip olup olmadığı araştırılıyorsa ki-kare homojenlik testi kullanılır.

Durum	Uygun test
Tek kategorik değişken, beklenen sayılar yeterli	Ki-kare uygunluk testi
Aynı durum, beklenen sayılar küçük	Kesin multinom testi
İki kategorili değişken, tek oran	Binom testi
İki kategorik değişken	Ki-kare bağımsızlık testi
Karşılaştırılan oranlar da bir örneklemden	Ki-kare homojenlik testi
Sürekli değişkenin bir dağılıma uyumu	Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov

Varsayımlar

1. Kategorik değişken: Değişken isimsel ya da sıralı ölçektedir. Kategoriler birbirini dışlar ve bütün olasılıkları kapsar; her birim tam olarak bir kategoriye girer.
2. Bağımsız gözlemler: Her birim bir kez sayılır ve birimler birbirinden bağımsız seçilir. Birimi araştırma sorusu belirler. Çoklu yanıtlı bir sorudaki yanıtlar ya da aynı kişinin tekrarlı ölçümleri ayrı birimler gibi sayılmaz.
3. Sayılar, yüzdeler değil: Test kategorilerdeki frekanslarla yapılır.
4. Önceden belirlenmiş oranlar: Beklenen oranlar veriye bakmadan belirlenir ve toplamları 1’dir. Tek istisna: dağılımın yalnızca türü önceden belirlenir ve parametreleri veriden tahmin edilir. O zaman serbestlik derecesi düşer (bkz. Formül ve hesaplama).
5. Yeterli beklenen sayılar: Yaygın kurala göre beklenen sayıların hiçbiri 1’in altında olmamalı ve en fazla %20’si 5’in altında kalmalıdır. Kural Cochran’ın (1954) önerilerinden gelir ve uygunluk testinde de yaygın olarak kullanılır. Koşul gözlenen değil beklenen sayılar üzerinden denetlenir.

Hipotezler

• H₀: Kitlede her kategorinin oranı belirtilen orana eşittir.
• H₁: Kitlede en az bir kategorinin oranı belirtilen orandan farklıdır.

Test yönsüzdür: dağılımın uyup uymadığını sınar. Farkın hangi kategoride ve hangi yönde olduğunu artıklar gösterir.

Formül ve hesaplama

k kategorili bir değişkende $O_i$ i. kategorinin gözlenen, $E_i$ beklenen sayısıdır. Beklenen sayı, örneklem büyüklüğü $N$ ile o kategorinin beklenen oranı $p_i$‘nin çarpımıdır:

Bu istatistiği Pearson (1900) önermiştir. Oranlar veriden önce belirlendiğinde serbestlik derecesi k − 1’dir.

Bazen yalnızca dağılımın türü önceden belirlenir (ör. normal dağılım) ve oranlar, parametreleri veriden tahmin edilen bu dağılımdan hesaplanır. O zaman tahmin edilen her parametre için bir serbestlik derecesi düşülür: m parametre için k − 1 − m. Normal dağılımda ortalama ile standart sapma tahmin edilir; m = 2’dir. Tahmin gruplanmış sayılardan en çok olabilirlikle yapılırsa serbestlik derecesi k − 3’tür.

Parametreler gruplanmamış ham veriden en çok olabilirlikle tahmin edilirse k − 1 − m kuralı geçerli olmaz (Chernoff ve Lehmann, 1954). İstatistiğin dağılımı, k − 1 − m ile k − 1 serbestlik dereceli χ² dağılımları arasında kalır. Bu yüzden k − 1 − m ile okunan test gereğinden sık anlamlı çıkar; k − 1 ile okunan test ise tutucudur.

Farkın büyüklüğü ve kaynağı

χ² değeri örneklem büyüdükçe büyür; farkın büyüklüğünü göstermez. Etki büyüklüğü için Cohen’in w’si kullanılır:

Cohen (1988), w için .10’u küçük, .30’u orta, .50’yi büyük bir etki olarak tanımlar.

Farkın hangi kategoriden geldiğini artıklar gösterir. Pearson artığı $(O_i - E_i)/\sqrt{E_i}$‘dir; kareleri toplamı χ²’yi verir. Standartlaştırılmış artık ise farkı kendi standart hatasına böler (Agresti, 2002):

Standartlaştırılmış artık H₀ altında yaklaşık olarak standart normal dağılır; ±1.96’nın dışındaki değerler beklenenden belirgin biçimde sapan kategorileri gösterir. Pearson artığının paydası ($\sqrt{N p_i}$) standartlaştırılmış artığınkinden büyüktür. Bu yüzden Pearson artığı mutlak değerce hiçbir zaman daha büyük değildir; ±1.96 ölçütü ona değil, standartlaştırılmış artığa uygulanır.

Adlar kaynaktan kaynağa değişir. Agresti ve R (stdres) bu değere standartlaştırılmış artık der. SPSS’in çapraz tablo çıktısı ve bazı kaynaklar (ör. Sharpe, 2015) “standartlaştırılmış artık” adını Pearson artığı için kullanır. Ki-kare bağımsızlık testi yazısındaki düzeltilmiş standartlaştırılmış artık, aynı mantığın çapraz tablodaki biçimidir.

Çözümlü örnek: kütüphanede ödünç alınan kitapların türü

Bir halk kütüphanesinde geçen yıl ödünç verilen kitapların %40’ı roman, %25’i bilim, %20’si tarih, %15’i çocuk kitabıydı. Bu oranlar geçen yılın bütün ödünç kayıtlarından hesaplanmıştır; yani tahmin değil, bilinen değerlerdir. Yönetim bu yıl dağılımın değişip değişmediğini merak ediyor.

Bu yılın kayıtlarında tür bilgisi henüz işlenmediği için rastgele 300 ödünç kaydı seçilip türleri belirleniyor. Birim ödünç kaydıdır: soru okurların değil, ödünçlerin türlere dağılımıdır. Veri öğretici amaçla hazırlanmıştır; aşağıdan indirip aynı hesabı kendiniz yapabilirsiniz.

tur	gozlenen	beklenen_oran
Roman	100	0.4
Bilim	95	0.25
Tarih	58	0.2
Çocuk	47	0.15

Veri · Bu örnekteki tüm sayılar SciPy 1.16.3 ile bağımsız olarak yeniden hesaplanır. Veriyi indirin (CSV)

Gözlenen sayılar ve beklenen sayılar (parantez içinde yüzdeler):

Tür	Gözlenen	Beklenen
Roman	100 (%33.3)	120 (%40)
Bilim	95 (%31.7)	75 (%25)
Tarih	58 (%19.3)	60 (%20)
Çocuk	47 (%15.7)	45 (%15)

Beklenen sayıların en küçüğü 45’tir; beklenen sayı koşulu rahatça sağlanıyor. Analizin sonucu:

• χ²(3, N = 300) = 8.82, p = .032
• Cohen w = .17

Pearson artıkları ve standartlaştırılmış artıklar:

Tür	Pearson artığı	Std. artık
Roman	−1.83	−2.36
Bilim	2.31	2.67
Tarih	−0.26	−0.29
Çocuk	0.30	0.32

Sonucun yorumu

p değeri (.032) α = .05’ten küçüktür. Bu yıl ödünç alınan kitapların türlere dağılımı, geçen yılın oranlarından istatistiksel olarak anlamlı biçimde farklıdır. Cohen w = .17 bu farkın küçük olduğunu gösterir: .10 ile .30 arasındadır.

Artıklar farkın kaynağını gösterir. ±1.96 ölçütüyle bilim kitapları beklenenden fazla (2.67), romanlar beklenenden az (−2.36) ödünç alınmıştır. Tarih ve çocuk kitaplarının payı geçen yıla yakındır.

Dört kategoriye birlikte bakılırken ±1.96 ölçütü gevşek kalır. Bonferroni düzeltmesi daha sıkı bir ölçüt verir (MacDonald ve Gardner, 2000; Sharpe, 2015). α = .05 dört kategoriye bölünür ve her kategori .0125 düzeyinde, çift yönlü sınanır. Buna karşılık gelen ölçüt ±2.50’dir.

Bilim kitaplarının artığı (2.67) bu ölçütü aşar; romanlarınki (−2.36) aşmaz. Raporda hangi ölçütün kullanıldığı yazılır.

Test dağılımın değiştiğini gösterir, nedenini göstermez. Bilim kitaplarının payındaki artış, okurların ilgisinin değişmesinden, kütüphanenin yeni bir bilim rafı açmasından ya da okul ödevlerinden kaynaklanabilir.

APA 7’ye göre raporlama

Raporda gözlenen ve beklenen sayılar (ya da yüzdeler) da verilir; χ² değeri tek başına dağılımın nasıl değiştiğini anlatmaz.

Sık yapılan hatalar

Alternatif testler

• Kesin multinom testi: Beklenen sayılar küçükse p değerini yaklaşım kullanmadan hesaplar. Aynı amaçla χ² için benzetimle (Monte Carlo) p değeri de hesaplanabilir. Bu örnek için R kodu: chisq.test(c(100, 95, 58, 47), p = c(0.40, 0.25, 0.20, 0.15), simulate.p.value = TRUE, B = 10000).
• Binom testi: Değişkenin yalnızca iki kategorisi varsa tek oranı kesin olarak sınar.
• Olabilirlik oranı testi (G testi): Aynı soruyu olabilirlik oranıyla sınar; büyük örneklemde iki test benzer sonuç verir.
• Shapiro-Wilk ya da Kolmogorov-Smirnov testi: Sınanan, sürekli bir değişkenin bir dağılıma uyup uymadığıysa veriyi kategorilere gruplamadan kullanılır. Shapiro-Wilk yalnızca normalliği sınar. Kolmogorov-Smirnov ile normallik sınanırken ortalama ve standart sapma veriden tahmin ediliyorsa Lilliefors düzeltmesi kullanılır.
• Ki-kare homojenlik testi: Karşılaştırılan dağılım da bir örneklemden geliyorsa.

Basira’da ki-kare uygunluk testi var mı?

Henüz yok. Basira’nın Kategorik Analizler grubundaki analizler iki kategorik değişkenle çalışır: Bağımsız Örnekler iki değişkenin ilişkisini (bağımsızlık ve homojenlik), Eşleştirilmiş Örnekler aynı birimlerdeki iki ölçümü sınar. Tek bir değişkenin dağılımını belirlenmiş oranlarla karşılaştıran bir analiz yoktur.

Bu örneği bir istatistik programında ya da kodla doğrulayabilirsiniz. R’da:

sonuc <- chisq.test(c(100, 95, 58, 47), p = c(0.40, 0.25, 0.20, 0.15))
sonuc                                         # χ², serbestlik derecesi, p
sonuc$residuals                               # Pearson artıkları
sonuc$stdres                                  # standartlaştırılmış artıklar
unname(sqrt(sonuc$statistic / sum(sonuc$observed)))   # Cohen w

Python’da (SciPy, beklenen oran değil sayı ister):

import numpy as np
from scipy.stats import chisquare
o = np.array([100, 95, 58, 47]); p = np.array([0.40, 0.25, 0.20, 0.15])
e = o.sum() * p                                  # beklenen sayılar: 120, 75, 60, 45
print(chisquare(o, f_exp=e))
print((o - e) / np.sqrt(e))                      # Pearson artıkları
print((o - e) / np.sqrt(o.sum() * p * (1 - p)))  # standartlaştırılmış artıklar

Sık sorulan sorular

Ki-kare uygunluk testi ile bağımsızlık testi arasındaki fark nedir?

Uygunluk testi tek bir değişkenin dağılımını önceden belirlenmiş oranlarla karşılaştırır. Bağımsızlık testi aynı birimlerde ölçülen iki değişkenin ilişkili olup olmadığını sınar; beklenen sayılar veriden, satır ve sütun toplamlarından hesaplanır.

Beklenen oranlar nereden gelir?

Veriden önce belirlenmiş bir kaynaktan: bir kuramdan, eşit dağılım varsayımından ya da kitlenin bilinen dağılımından. Oranları gözlenen sayılara bakarak seçmek testi anlamsız kılar. Yalnızca dağılımın türü önceden belirlenmişse parametreleri veriden tahmin edilebilir; serbestlik derecesi buna göre düşer (bkz. Formül ve hesaplama).

Serbestlik derecesi neden k − 1?

Kategori sayıları toplamı N’e eşit olmak zorundadır; k − 1 kategorinin sayısı bilinince sonuncusu da bilinir. Dağılımın parametreleri gruplanmış sayılardan tahmin edildiyse her parametre için bir serbestlik derecesi daha düşülür. Ham veriden en çok olabilirlikle tahminde bu kural geçerli olmaz; istatistiğin dağılımı k − 1 − m ile k − 1 serbestlik dereceli χ² dağılımları arasında kalır (bkz. Formül ve hesaplama).

Beklenen sayılar küçükse ne yapmalıyım?

Kesin multinom testini ya da benzetimle p değerini kullanın. Anlamca yakın kategoriler birleştirilebilir; birleştirme sonucu değiştirmek için değil, araştırma sorusuna uygun bir gerekçeyle yapılır.

Kaç gözleme ihtiyacım var?

Beklenen sayı koşulunu sağlayacak ve aranan farkı yakalayacak kadar. Dört kategoride, α = .05 ve %80 güçle orta bir etki (w = .30) için 122 gözlem gerekir. Küçük bir etki (w = .10) için bu sayı 1091’dir. Güç hesabını veri toplamadan önce yapın.

Anlamlı sonuç hangi kategoriden geliyor, nasıl anlarım?

Standartlaştırılmış artıklara bakın: ±1.96’nın dışındaki değerler beklenenden belirgin biçimde sapan kategorileri gösterir. Kategori sayısı arttıkça Bonferroni düzeltmeli daha sıkı bir ölçüt kullanın. Bu ölçüt, çift yönlü .05/k düzeyine karşılık gelen z değeridir; dört kategoride ±2.50. Hipotez kurmanın genel mantığı için istatistiksel hipotez kavramı ve türleri yazısına, doğru testi bulmak için doğru istatistiksel test seçimi rehberine bakabilirsiniz.