Ki-Kare Bağımsızlık Testi: Ne Zaman ve Nasıl Yapılır?

Ki-kare bağımsızlık testi, aynı birimlerde ölçülen iki kategorik değişkenin birbirinden bağımsız olup olmadığını sınayan bir testtir. Çapraz tablodaki gözlenen sayıları, değişkenler bağımsız olsaydı beklenecek sayılarla karşılaştırır. Cinsiyet ile tercih edilen ulaşım türü ya da barınma türü ile bir sağlık alışkanlığı gibi iki nitel değişken arasında ilişki olup olmadığını araştırmak için kullanılır.

Ne zaman kullanılır?

İki değişken de kategorik (nitel) olduğunda ve her birim tablonun yalnızca bir hücresinde yer aldığında kullanılır. Veri, iki değişkenin kategorilerini çaprazlayan bir tabloda özetlenir. Satırlar bir değişkenin, sütunlar ötekinin kategorileridir; hücrelerde o birleşime düşen birimlerin sayısı durur.

• Sağlık: Sigara içme durumu (içiyor, bırakmış, hiç içmemiş) ile kronik öksürük (var, yok) ilişkili mi?
• Eğitim: Öğrencinin fakültesi ile burs başvurusu yapıp yapmaması ilişkili mi?
• Pazarlama: Müşterinin yaş grubu ile tercih ettiği ödeme yöntemi ilişkili mi?

Ki-kare bağımsızlık testi, tek bir örneklemde ölçülen iki değişkenin ilişkisini sınar. Gruplar önceden belirlenip her gruptan ayrı örneklem alınmışsa aynı hesap ki-kare homojenlik testi adını alır. Tek bir kategorik değişkenin dağılımı bilinen oranlarla karşılaştırılıyorsa ki-kare uygunluk testi kullanılır.

Durum	Uygun test
İki kategorik değişken, beklenen sayılar yeterli	Ki-kare bağımsızlık testi
Aynı durum, beklenen sayılar küçük	Fisher’ın kesin testi
Aynı kişilerde iki ikili ölçüm (önce-sonra evet/hayır)	McNemar testi
İki değişken de sıralı (ör. eğitim düzeyi × memnuniyet düzeyi)	Doğrusal-doğrusal ilişki testi ya da Kendall τ-b
Bir değişken sürekli, öteki iki gruplu	Bağımsız örneklem t-testi

Varsayımlar

1. Kategorik değişkenler: İki değişken de isimsel ya da sıralı ölçektedir ve kategoriler birbirini dışlar: her birim tek bir kategoriye girer.
2. Bağımsız gözlemler: Her birim tabloda bir kez sayılır. Aynı kişinin iki ölçümü ya da aynı ailenin üyeleri ayrı birimler gibi sayılmaz.
3. Sayılar, yüzdeler değil: Test hücrelerdeki frekanslarla yapılır. Yüzdeler ya da ortalamalar tabloya konmaz.
4. Yeterli beklenen sayılar: Hücrelerin %20’sinden fazlasında beklenen sayı 5’in altında olmamalı ve hiçbir hücrede 1’in altına düşmemelidir (Cochran, 1954). Bu koşulu belirleyen gözlenen değil, beklenen sayılardır. Koşul sağlanmıyorsa Fisher’ın kesin testi kullanılır ya da anlamlı biçimde birleştirilebilen kategoriler birleştirilir.

Ayrıca bir “n > 30” koşulu yoktur. Gereken örneklem büyüklüğü, beklenen sayı koşulunu sağlayacak ve aranan ilişkiyi yakalayacak kadardır.

Hipotezler

• H₀: İki değişken kitlede birbirinden bağımsızdır (birinin kategorisi ötekinin dağılımını değiştirmez).
• H₁: İki değişken kitlede ilişkilidir.

Ki-kare testi yönsüzdür: ilişkinin var olup olmadığını sınar, hangi yönde olduğunu tablo ve artıklar gösterir.

Formül ve hesaplama

Bağımsızlık varsayımı altında bir hücrenin beklenen sayısı, satır ve sütun toplamlarının çarpımının genel toplama bölümüdür. $O_{ij}$ gözlenen, $E_{ij}$ beklenen sayıdır:

Bu istatistiği Pearson (1900) önermiştir. r satır ve c sütunlu bir tabloda serbestlik derecesi (r − 1)(c − 1)‘dir (Fisher, 1922); test istatistiği H₀ altında yaklaşık olarak bu serbestlik dereceli ki-kare dağılımına uyar.

İlişkinin gücünü ölçen katsayılar

χ² değeri örneklem büyüdükçe büyür; bu yüzden ilişkinin gücünü göstermez. İlişkinin büyüklüğü için Cramér’s V kullanılır; k, satır ve sütun sayısından küçük olanıdır:

V, 0 (ilişki yok) ile 1 (tam ilişki) arasında değer alır. 2×2 tabloda V, phi (φ) katsayısının mutlak değerine eşittir.

Olumsallık katsayısı (C) da kullanılır, ama alabileceği en büyük değer tablonun boyutuna bağlıdır; farklı boyuttaki tabloları karşılaştırırken V tercih edilir. 2×2 tablolarda göreli risk ve olasılık oranı (odds ratio) ilişkiyi daha somut anlatır. İki değişken de sıralıysa Goodman-Kruskal gamma ya da Kendall τ-b, ilişkinin yönünü de verir.

İlişkinin hangi hücreden geldiğini düzeltilmiş standartlaştırılmış artıklar gösterir. Bir hücrenin artığı, gözlenen ile beklenen arasındaki farkın standart hatasına bölünmesiyle elde edilir. Yaklaşık olarak standart normal dağılır; ±1.96’nın dışındaki değerler beklenenden belirgin biçimde sapan hücreleri gösterir.

Çözümlü örnek: barınma türü ve kahvaltı alışkanlığı

Bir üniversitede rastgele seçilen 240 öğrenciye nerede kaldıkları (aile yanı, kiralık ev, yurt) ve düzenli kahvaltı yapıp yapmadıkları soruluyor. Soru: barınma türü ile kahvaltı alışkanlığı ilişkili mi? Veri öğretici amaçla hazırlanmıştır. Her satır bir öğrencidir; aşağıdan indirip aynı analizi kendiniz yapabilirsiniz.

barinma	kahvalti
Kiralık ev	Düzensiz
Aile yanı	Düzenli
Yurt	Düzensiz
Yurt	Düzenli
Aile yanı	Düzensiz
Aile yanı	Düzenli
Yurt	Düzenli
Aile yanı	Düzensiz
Yurt	Düzensiz
Kiralık ev	Düzenli
Kiralık ev	Düzenli
Kiralık ev	Düzensiz

İlk 12 satır (toplam 240) · Bu örnekteki tüm sayılar SciPy 1.16.3 ile bağımsız olarak yeniden hesaplanır. Veriyi indirin (CSV)

Gözlenen sayılar ve satır yüzdeleri:

Barınma	Düzenli	Düzensiz	Toplam
Aile yanı	63 (%68.5)	29 (%31.5)	92
Kiralık ev	34 (%48.6)	36 (%51.4)	70
Yurt	42 (%53.8)	36 (%46.2)	78

Altı hücrenin beklenen sayılarının en küçüğü 29,46’dır; beklenen sayı koşulu rahatça sağlanıyor. Analizin sonucu:

• χ²(2, N = 240) = 7.25, p = .027
• Cramér’s V = .17

Düzeltilmiş standartlaştırılmış artıklar:

Barınma	Düzenli	Düzensiz
Aile yanı	2.61	−2.61
Kiralık ev	−1.88	1.88
Yurt	−0.89	0.89

Sonucun yorumu

Barınma türü ile kahvaltı alışkanlığı arasında istatistiksel olarak anlamlı bir ilişki vardır. Cramér’s V = .17 bu ilişkinin zayıf olduğunu gösterir; Cohen’in (1988) ölçütlerinde k − 1 = 1 iken .10 küçük, .30 orta, .50 büyük bir ilişkidir. Ailesinin yanında kalan öğrencilerin yaklaşık üçte ikisi düzenli kahvaltı yaparken, bu oran kiralık evde ve yurtta kalanlarda yarıya yakındır.

Artıklar ilişkinin kaynağını gösterir: aile yanında kalanlarda düzenli kahvaltı beklenenden belirgin biçimde fazladır (2.61). Kiralık evde kalanların artığı (−1.88) ±1.96 sınırının içindedir, yurtta kalanlarınki (−0.89) ise beklenene yakındır.

Birçok hücreye birlikte bakılırken ±1.96 ölçütü gevşek kalır; Bonferroni düzeltmesi daha sıkı bir ölçüt verir (MacDonald ve Gardner, 2000). Altı hücrenin hepsi sayılırsa ölçüt ±2.64’tür ve aile yanı satırı (2.61) bunun hemen altında kalır.

İki sütunlu bu tabloda her satırın iki hücresi aynı büyüklükte artık taşır. Karşılaştırma sayısı bu yüzden üç alınırsa ölçüt ±2.39’a iner ve aile yanı satırı bunu aşar. Bulgu sınırdadır; raporda hangi ölçütün kullanıldığı yazılır.

Veri gözlemseldir: test ilişkiyi gösterir, nedenini göstermez. Aile yanında kalan öğrenciler yaş, sınıf ya da ders programı gibi başka yönlerden de farklı olabilir.

APA 7’ye göre raporlama

Raporda tablonun kendisi de (sayılar ve satır ya da sütun yüzdeleri) verilir; χ² değeri tek başına okura ilişkinin biçimini anlatmaz.

Sık yapılan hatalar

Alternatif testler

• Fisher’ın kesin testi: Beklenen sayılar küçükse (Kim, 2017). 2×2 tablolarda yaygındır; daha büyük tablolar için genelleştirilmiş biçimi (Fisher-Freeman-Halton testi) vardır.
• Olabilirlik oranı testi (G testi): Ki-kareyle aynı soruyu olabilirlik oranıyla sınar; büyük örneklemde iki test benzer sonuç verir.
• McNemar testi: Aynı kişilerde iki ikili ölçüm (önce-sonra) karşılaştırılıyorsa.
• Doğrusal-doğrusal ilişki testi: İki değişken de sıralıysa ve aranan, sıralar boyunca artan ya da azalan bir eğilimse.
• Lojistik regresyon: İkili bir sonucun birden çok değişkenle ilişkisini birlikte incelemek ya da başka değişkenlerin etkisini hesaba katmak istiyorsanız.

Basira’da ki-kare bağımsızlık testi nasıl yapılır?

1. Yukarıdaki örneğin verisini Veriyi indirin (CSV) bağlantısından indirin; dosya her öğrenci için bir satır, barinma ve kahvalti sütunlarıyla gelir. Basira’da Veri Setlerim sayfasındaki Yeni Veri Seti Yükle düğmesiyle yükleyin.
2. Analiz Stüdyosu’nda Kategorik Analizler altındaki Bağımsız Örnekler analizini açın ve Akıllı Mod’u seçin.
3. Satır Değişkeni olarak barinma’yı, Sütun Değişkeni olarak kahvalti’yi seçin.
4. Analizi Başlat’a tıklayın. Akıllı Mod önce beklenen sayıları denetler: hücrelerin %20’si ya da daha fazlasında beklenen sayı 5’in altındaysa ya da herhangi bir hücrede 1’in altındaysa, 100 hücreye kadar olan tablolarda Fisher’ın kesin testini de ekler. Bu eşik Cochran’ınkinden biraz sıkıdır: tam %20’yi de ihlal sayar.
5. Koşul sağlanıyorsa, bu örnekteki gibi, Akıllı Mod Pearson ki-kare ve olabilirlik oranı testlerini birlikte verir; 2×2 tablolarda Yates düzeltmeli ki-kare satırı da eklenir.
6. Sonuçlarda gözlenen sayılar ve satır yüzdeleriyle çapraz tablo, test sonuçları ve phi, Cramér’s V ile olumsallık katsayısı birlikte gelir. 2×2’den büyük tablolarda, bu örnekte olduğu gibi, sütun oranlarını ikişer ikişer karşılaştıran Bonferroni düzeltmeli z testleri tablosu da eklenir. İki sütunlu bir tabloda her satır tek karşılaştırma içerdiği için düzeltme fiilen uygulanmaz ve z değerleri düzeltilmiş artıklara eşittir.
7. Düzeltilmiş artıkları görmek için Manuel Mod’da Hücre Gösterimi bölümündeki Düz. Artıklar kutusunu işaretleyin.

Sık sorulan sorular

Ki-kare testi ile Fisher’ın kesin testi arasındaki fark nedir?

Ki-kare testi, test istatistiğinin ki-kare dağılımına yaklaşık uyduğunu varsayar; bu yaklaşım beklenen sayılar yeterliyken iyidir. Fisher’ın kesin testi p değerini yaklaşım kullanmadan hesaplar; beklenen sayılar küçükken tercih edilir.

2×2 tabloda Yates düzeltmesi kullanmalı mıyım?

Yates düzeltmesi testi çoğu durumda gereğinden tutucu yapar. Beklenen sayılar yeterliyse düzeltmesiz ki-kare, küçükse Fisher’ın kesin testi kullanılır. Basira’nın Akıllı Mod’u beklenen sayılar yeterliyse 2×2 tabloda düzeltmeli ve düzeltmesiz ki-kare satırlarını birlikte gösterir; düzeltmesiz satırı okuyun.

Anlamlı sonuç hangi kategorilerden geliyor, nasıl anlarım?

Satır ya da sütun yüzdelerini karşılaştırın ve düzeltilmiş artıklara bakın. ±1.96’nın dışındaki artıklar beklenenden belirgin biçimde sapan hücreleri gösterir; çok hücreli tablolarda daha sıkı bir ölçüt kullanın.

Kategorileri birleştirebilir miyim?

Beklenen sayılar küçükse anlamca yakın kategoriler birleştirilebilir (ör. “katılıyorum” ile “kesinlikle katılıyorum”). Birleştirme, veriye bakıp sonucu değiştirmek için değil, araştırma sorusuna uygun gerekçeyle yapılır.

Kaç gözleme ihtiyacım var?

Beklenen sayı koşulunu sağlayacak ve aranan büyüklükteki ilişkiyi yakalayacak kadar. Güç hesabını veri toplamadan önce yapın; test seçimini de doğru istatistiksel test seçimi rehberiyle doğrulayabilirsiniz.

Değişkenlerimin türünü nasıl belirlerim?

Değişkenin kategorik mi sürekli mi olduğunu istatistiksel değişken türleri belirler; verinin nereden geldiği de (veri ve veri kaynakları) örneklemin kimi temsil ettiğini söyler.