Ki-Kare Homojenlik Testi: Bağımsızlık Testinden Farkı

Ki-kare homojenlik testi, iki ya da daha çok kitleden ayrı ayrı alınan örneklemlerin bir kategorik değişkende aynı dağılımı taşıyıp taşımadığını sınayan bir testtir. Grupları araştırmacı önceden belirleyip her birinden ayrı örneklem aldığında kullanılır. Hesabı ki-kare bağımsızlık testiyle aynıdır; farkı örnekleme deseninde, sınadığı hipotezde ve sonucun nasıl yorumlandığındadır.

Ne zaman kullanılır?

Gruplar desen gereği sabitse ve her gruptan ayrı bir örneklem alınmışsa kullanılır. Grup büyüklüklerini veri değil, araştırmacı belirler: her ilden 200, her okuldan 50, her tedavi kolundan 60 kişi gibi. Sınanan değişken kategoriktir (nitel): tercih edilen ürün, kan grubu, sınav sonucu (geçti, kaldı) gibi.

• Anket: Üç yaş grubunun her birinden ayrı ayrı 100 kişiye en sık kullandıkları ödeme yöntemi soruluyor.
• Klinik deneme: Hastalar üç tedavi koluna eşit sayıda rastgele atanıyor; sonuç, hastanın yaşadığı başlıca yan etki (yok, bulantı, baş ağrısı, yorgunluk).
• Eğitim: İki okuldan ayrı ayrı 80’er öğrenci seçilip tercih ettikleri öğrenme biçimi soruluyor.

İki desen arasındaki fark sonucun neyi söylediğini değiştirir:

	Homojenlik testi	Bağımsızlık testi
Örnekleme	Her gruptan ayrı örneklem; grup büyüklükleri sabit	Tek örneklem; iki değişken birlikte ölçülür
Hipotez	Grupların dağılımı aynı mı?	İki değişken ilişkili mi?
Yüzde	Grup içi yüzdeler	Satır, sütun ve toplam yüzdeleri
Kestirilemeyen	Grupların kitledeki payı; sonucun bütün kitledeki dağılımı	—

Gruplar sabitlendiği için örneklemdeki grup oranı araştırmacının seçimidir, kitlenin özelliği değildir. Örneğin her yaş grubundan 100 kişi alınması, kitlenin üçte birinin 50 yaş üstü olduğu anlamına gelmez. Aynı nedenle toplam satırındaki ödeme yöntemi dağılımı da kitlenin bütününü temsil etmez. Tek bir kategorik değişkenin dağılımı bilinen oranlarla karşılaştırılıyorsa ki-kare uygunluk testi kullanılır.

Varsayımlar

1. Bağımsız örneklemler: Her grubun örneklemi kendi kitlesinden rastgele ve öbür gruplardan bağımsız seçilir (deneyde ise birimler gruplara rastgele atanır). Aynı kişi iki grupta yer almaz.
2. Bağımsız gözlemler: Her kişi tabloda bir kez sayılır; sonuç değişkeninin kategorileri birbirini dışlar.
3. Sayılar, yüzdeler değil: Test hücrelerdeki sayılarla yapılır.
4. Yeterli beklenen sayılar: Hücrelerin %20’sinden fazlasında beklenen sayı 5’in altında olmamalı ve hiçbir hücrede 1’in altına düşmemelidir (Cochran, 1954). Koşul sağlanmıyorsa Fisher’ın kesin testinin genelleştirilmiş biçimi kullanılır.

Sonuç değişkeni sıralıysa (ör. “kötüleşti, değişmedi, iyileşti”) ki-kare bu sırayı kullanmaz; fark sıra boyunca tek yönlüyse sırayı kullanan bir test onu daha güçlü yakalar. Değişkenin ölçek düzeyi test seçimini bu yüzden etkiler.

Hipotezler

c kategorili bir değişken ve r grup için $p_{ij}$, i. grubun j. kategoriye düşen oranıdır:

• H₀: Her kategori için grupların oranı eşittir ($p_{1j} = p_{2j} = \dots = p_{rj}$, her j için).
• H₁: En az bir kategoride en az iki grubun oranı farklıdır.

Hipotez grupların kitlelerine ilişkindir: “Üç yaş grubunda ödeme yöntemi tercihlerinin dağılımı aynı mı?”

Formül ve hesaplama

Hesap bağımsızlık testiyle aynıdır (Pearson, 1900). H₀ altında her grubun beklenen dağılımı, bütün grupların birleşik dağılımıdır:

$n_i$ i. grubun (sabit) büyüklüğü, N toplam gözlem sayısıdır. Serbestlik derecesi (r − 1)(c − 1)‘dir. Farkın büyüklüğü Cramér’s V ile verilir; k, grup ve kategori sayısından küçük olanıdır: $V = \sqrt{\chi^2 / (N(k - 1))}$.

Çözümlü örnek: yaş grupları ve ödeme yöntemi

Bir araştırmacı ödeme alışkanlıklarının yaş gruplarına göre farklı olup olmadığını merak ediyor. 18–29, 30–49 ve 50 yaş üstü gruplarının her birinden ayrı ayrı rastgele 100 kişi seçip en sık kullandıkları ödeme yöntemini (kart, mobil, nakit) soruyor. Grup büyüklükleri desen gereği sabittir.

Veri öğretici amaçla hazırlanmıştır. Her satır bir kişidir; aşağıdan indirip aynı analizi kendiniz yapabilirsiniz.

yas_grubu	odeme
30–49 yaş	Kart
18–29 yaş	Nakit
30–49 yaş	Mobil
30–49 yaş	Kart
50+ yaş	Nakit
50+ yaş	Mobil
50+ yaş	Kart
30–49 yaş	Kart
30–49 yaş	Kart
50+ yaş	Kart
18–29 yaş	Mobil
30–49 yaş	Kart

İlk 12 satır (toplam 300) · Bu örnekteki tüm sayılar SciPy 1.16.3 ile bağımsız olarak yeniden hesaplanır. Veriyi indirin (CSV)

Her grupta 100 kişi olduğu için sayılar aynı zamanda grup içi yüzdelerdir:

Yaş grubu	Kart	Mobil	Nakit
18–29 yaş	39	38	23
30–49 yaş	53	21	26
50+ yaş	53	15	32

Dokuz hücrenin beklenen sayılarının en küçüğü 24,67’dir; koşul rahatça sağlanıyor. Analizin sonucu:

• χ²(4, N = 300) = 15.80, p = .003
• Cramér’s V = .16

Düzeltilmiş standartlaştırılmış artıklar:

Yaş grubu	Kart	Mobil	Nakit
18–29 yaş	−2.29	3.79	−1.10
30–49 yaş	1.14	−1.04	−0.28
50+ yaş	1.14	−2.75	1.38

Sonucun yorumu

Üç yaş grubunun ödeme yöntemi tercihlerinin dağılımı aynı değildir. Cohen’in (1988) ölçütlerinde k − 1 = 2 iken .07 küçük, .21 orta, .35 büyük bir etkiye karşılık gelir; Cramér’s V = .16 küçük bir etkidir (küçük ve orta sınırları arasında). Mobil ödeme 18–29 yaş grubunda %38, 50 yaş üstünde %15’tir; kart kullanımı da 18–29 yaş grubunda daha düşüktür, nakitteki farklar ise küçüktür.

Artıklar farkın kaynağını gösterir. ±1.96 ölçütüne göre 18–29 yaş grubunda mobil ödeme beklenenden fazla (3.79), kart beklenenden az (−2.29), 50 yaş üstünde mobil ödeme beklenenden azdır (−2.75).

Dokuz hücreye birlikte bakıldığı için Bonferroni düzeltmeli ölçüt (yaklaşık ±2.77) daha sıkıdır (MacDonald ve Gardner, 2000). Bu ölçütle yalnızca 18–29 yaş grubundaki mobil ödeme hücresi anlamlıdır; 50 yaş üstündeki mobil ödeme hücresi (−2.75) sınırın hemen altında kalır.

Yaş grupları rastgele atanamaz: test yaş gruplarının tercihlerinin farklı olduğunu gösterir, farkın nedenini göstermez. Gelir, iş durumu ya da teknolojiye erişim gibi başka değişkenler de farkı yaratıyor olabilir. Gruplar desen gereği eşit büyüklükte seçildiği için örneklemdeki yaş dağılımından kitle hakkında bir sonuç çıkarılmaz.

APA 7’ye göre raporlama

Raporda örneklemin her gruptan ayrı alındığı belirtilir, grup büyüklükleri de yazılır; okur sonucu bağımsızlık testinden ancak böyle ayırır.

Sık yapılan hatalar

Alternatif testler

• Fisher’ın kesin testi (Fisher-Freeman-Halton): Beklenen sayılar küçükse.
• İki oran z testi: İki grup ve ikili sonuç (evet/hayır) varsa; sonucu Yates düzeltmesiz, çift yönlü 2×2 ki-kare testiyle aynıdır (z² = χ²).
• Kruskal-Wallis ya da Mann-Whitney U: Sonuç değişkeni sıralıysa, sırayı kullanan bir karşılaştırma için.
• Lojistik ya da çok kategorili lojistik regresyon: Grup farkını başka değişkenleri hesaba katarak sınamak istiyorsanız (Agresti, 2007).

Basira’da ki-kare homojenlik testi nasıl yapılır?

1. Yukarıdaki örneğin verisini Veriyi indirin (CSV) bağlantısından indirin; dosya her kişi için bir satır, yas_grubu ve odeme sütunlarıyla gelir. Basira’da Veri Setlerim sayfasındaki Yeni Veri Seti Yükle düğmesiyle yükleyin.
2. Analiz Stüdyosu’nda Kategorik Analizler altındaki Bağımsız Örnekler analizini açın ve Akıllı Mod’u seçin. Basira’da ayrı bir homojenlik seçeneği yoktur ve gerekmez: test istatistiği iki desende aynıdır, deseni siz raporlarsınız.
3. Satır Değişkeni olarak odeme’yi, Sütun Değişkeni olarak yas_grubu’nu seçin. Bu yerleşimde Akıllı Mod’un eklediği sütun oranı z testleri, her ödeme yöntemi için yaş gruplarını ikişer ikişer (Bonferroni düzeltmesiyle) karşılaştırır.
4. Analizi Başlat’a tıklayın. Akıllı Mod beklenen sayıları denetler ve koşul sağlanıyorsa Pearson ki-kare ile olabilirlik oranı testini birlikte verir. Sonuçlarda çapraz tablo, test sonuçları, Cramér’s V ve z testleri gelir. Bu örnekte z testleri mobil ödemede 18–29 yaş grubunu öbür iki gruptan ayırır; 30–49 ile 50+ arasında anlamlı bir fark bulunmaz, karttaki fark da düzeltmeden sonra anlamlı kalmaz.
5. Akıllı Mod’un tablosu satır yüzdelerini gösterir; bu yerleşimde grup içi yüzdeler sütun yüzdeleridir ve Basira’nın tabloları yukarıdakilerin devriğidir. Grup içi yüzdeleri doğrudan görmek için Manuel Mod’da Hücre Gösterimi bölümündeki Sütun % kutusunu işaretleyin; bu örnekte her grupta 100 kişi olduğu için sayılar zaten grup içi yüzdelerdir.
6. Düzeltilmiş artıkları görmek için Manuel Mod’da Hücre Gösterimi bölümündeki Düz. Artıklar kutusunu işaretleyin; z testleri Manuel Mod’da kapalı gelir, Post-Hoc Z-testleri kutusuyla açılır.

Sık sorulan sorular

Homojenlik ile bağımsızlık testi arasındaki fark nedir?

Hesap aynıdır; fark desendedir. Homojenlikte gruplar önceden belirlenip her birinden ayrı örneklem alınır, bağımsızlıkta tek bir örneklemde iki değişken birlikte ölçülür. Sonuç aynı sayıyı verir ama farklı bir soruyu yanıtlar.

Grup büyüklükleri eşit olmak zorunda mı?

Hayır. Gruplar farklı büyüklükte olabilir; karşılaştırma grup içi yüzdelerle yapıldığı için eşitlik gerekmez. Yeterli beklenen sayı için her grup yeterince büyük olmalıdır.

İki grupla bu test mi, iki oran z testi mi yapılır?

Sonuç ikiliyse ikisi (Yates düzeltmesi olmadan, çift yönlü) aynı p değerini verir. Kategori sayısı ikiden fazlaysa ki-kare homojenlik testi kullanılır.

Sonuç anlamlıysa hangi gruplar farklı?

Düzeltilmiş artıklara ve sütun oranı karşılaştırmalarına bakın; çok hücreli tablolarda Bonferroni gibi bir düzeltme kullanın.

Kaç kişiye ihtiyacım var?

Beklenen sayı koşulunu sağlayacak ve aranan farkı yakalayacak kadar; hesabı veri toplamadan önce yapın. Örneklemin her grubun kitlesini temsil etmesi de gerekir. Değişkenlerin türünü kesikli ve sürekli değişkenler yazısı, verinin nasıl toplandığını veri ve veri kaynakları yazısı, test seçimini doğru istatistiksel test seçimi rehberi anlatır.