Merkezi Eğilim Ölçüleri: Ortalama, Ortanca ve Mod

Merkezi eğilim ölçüleri, bir verinin değerlerinin hangi değer etrafında toplandığını tek bir sayıyla özetleyen ölçülerdir. En yaygın üçü aritmetik ortalama, ortanca (medyan) ve tepe değerdir (mod). Bir değişkeni betimlerken ilk raporlanan bilgilerdendir; ama tek başına yetmez, değerlerin ne kadar yayıldığı da raporlanır.

Bu yazı frekans dağılımları konusunun devamıdır. Hangi ölçünün anlamlı olduğu değişkenin ölçek türüne bağlıdır.

Merkezi eğilim ölçüsü nedir?

Merkezi eğilim ölçüsü, bir dağılımın “tipik” değerini gösterir. Frekans tablosu ve histogram verinin biçimini gösterir; merkezi eğilim ölçüsü bu biçimi tek bir sayıya indirger. Bu indirgeme bilgi kaybettirir. Bu yüzden merkezi eğilim ölçüsü, bir dağılım ölçüsüyle (standart sapma ya da çeyrekler arası genişlik) birlikte raporlanır.

Bu yazıdaki örneklerin hepsi aynı veriyi kullanır. Bir videoyu izleyen 15 öğrencinin izleme süreleri (dakika):

4, 12, 7, 6, 10, 12, 12, 14, 12, 12, 4, 5, 9, 11, 13

Küçükten büyüğe sıralanınca: 4, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 14

Aritmetik ortalama nedir?

Aritmetik ortalama, değerlerin toplamının değer sayısına bölünmesidir. Örneklem ortalaması $\bar{x}$, kitle ortalaması μ ile gösterilir:

Ortalamanın özellikleri

• Verideki bütün değerleri kullanır.
• Değerlerin ortalamadan farklarının toplamı sıfırdır.
• Aykırı değerlerden çok etkilenir: tek bir uç değer ortalamayı belirgin biçimde kaydırabilir.
• Ölçek kuramına göre aralıklı ve oranlı ölçekte anlamlıdır; 0/1 kodlu bir değişkenin ortalaması ise “1” olanların oranıdır.

Örnek

İzleme sürelerinin toplamı 143 dakikadır. Ortalama 143 / 15 = 9.53 dakikadır.

Aynı veriye 120 dakika izleyen tek bir öğrenci eklenirse ortalama 16,44 dakikaya çıkar. Öğrencilerin 16’sından 15’i bu değerin altında kalır; ortalama artık tipik bir öğrenciyi anlatmaz.

Ortanca (medyan) nedir?

Ortanca, değerler küçükten büyüğe sıralandığında tam ortaya düşen değerdir. Değerlerin yarısı ortancanın altında, yarısı üstündedir.

Ortancanın özellikleri

• Gözlem sayısı n tekse ortanca (n + 1) / 2. sıradaki değerdir.
• n çiftse ortanca, n / 2. ve (n / 2 + 1). sıradaki iki değerin ortalamasıdır.
• Aykırı değerlere dayanıklıdır: en büyük değeri daha da büyütmek ortancayı değiştirmez.
• Sıralı, aralıklı ve oranlı ölçekteki değişkenler için kullanılabilir.

Örnek: tek sayıda gözlem

n = 15 olduğu için ortanca (15 + 1) / 2 = 8. sıradaki değerdir: 11 dakika.

Örnek: çift sayıda gözlem

Veriye 17 dakika izleyen bir öğrenci eklenirse n = 16 olur. Ortanca 8. ve 9. sıradaki değerlerin ortalamasıdır: (11 + 12) / 2 = 11.5 dakika. 17 yerine 120 dakika eklenseydi ortanca yine 11,5 olurdu; ortalama ise 9,53’ten 16,44’e çıkmıştı.

Tepe değer (mod) nedir?

Mod, verideki en sık görülen değerdir.

Modun özellikleri

• İsimsel (sınıflayıcı) değişkenler için kullanılabilen tek merkezi eğilim ölçüsüdür: en sık görülen kan grubu, en çok tercih edilen marka.
• Bir verinin tek modu (tek modlu), iki modu (iki modlu) ya da daha fazla modu (çok modlu) olabilir.
• Her değer yalnızca bir kez görülüyorsa verinin modu yoktur.
• Sürekli bir değişkende, değerler yuvarlanmadan kaydedildiyse, aynı değer nadiren tekrar eder; mod o zaman pek bilgi vermez.

Örnek

12 dakika beş kez görülür; başka hiçbir değer bu kadar sık değildir. Mod 12 dakikadır.

Örnek: üç ölçü aynı veride

Ölçü	Değer (dakika)	Neyi anlatır
Ortalama	9.53	Bütün öğrencilerin toplam süresinin eşit paylaşımı
Ortanca	11	Öğrencilerin yarısı 11 dakikadan az, yarısı fazla izledi
Mod	12	En sık rastlanan izleme süresi

Histogram ve çarpıklık katsayısı bu dağılımın hafif sola çarpık olduğunu gösterir (düzeltilmiş çarpıklık katsayısı G₁ = −0.57; SPSS ve Excel’in raporladığı değer): 4 ve 5 dakika gibi birkaç kısa izleme sol kuyruğu uzatır. Bu veride ortalama ortancadan, ortanca da moddan küçüktür; yani sıralama çarpıklıkla aynı yöndedir. Ama veri kesikli olduğu için bu bir garanti değildir. Ders kitaplarındaki “sola çarpık dağılımda ortalama < ortanca < mod” kuralı kesikli ve çok modlu verilerde sık yanılır (von Hippel, 2005); çarpıklığın yönü histograma ve çarpıklık katsayısına bakılarak belirlenir.

Bu veri için raporlanacak özet: ortalama = 9.53, standart sapma (SS) = 3.44; ortanca = 11, çeyrekler arası genişlik (ÇAG) = 5.5 (Q1 = 6.5, Q3 = 12; doğrusal kantil yöntemi, programa göre küçük farklar çıkabilir). Dağılım hafif sola çarpık olduğu için ortanca ve ÇAG daha uygun bir özettir.

Hangi ölçü ne zaman seçilir?

Durum	Önerilen ölçü
İsimsel değişken (kan grubu, meslek)	Mod
Sıralı değişken (eğitim düzeyi, ağrı şiddeti)	Ortanca (mod da raporlanabilir)
Simetrik dağılan nicel değişken	Ortalama
Çarpık dağılan ya da aykırı değer içeren nicel değişken (gelir, bekleme süresi)	Ortanca

Bazı durumlar başka ortalamalar ister. Oranlarla büyüyen nicelikler için geometrik ortalama kullanılır: bir yatırım üç yılda yüzde 10, yüzde 20 ve yüzde −5 değiştiyse yıllık ortalama büyüme yüzde 7,8’dir; aritmetik ortalamanın verdiği yüzde 8,3 değil. Aykırı değer içeren veride kırpılmış ortalama (her iki uçtan aynı oranda değer atılarak hesaplanan ortalama) ortalama ile ortanca arasında dengeli bir seçenektir; Wilcox ve Keselman (2003) her uçtan yüzde 20 kırpmayı önerir.

Ortalama ile ortancanın birbirinden çok farklı olması, raporlanması gereken bir bilgidir. Gelir gibi sağa çarpık değişkenlerde ortalama ortancadan belirgin biçimde büyüktür ve “tipik” kişiyi yanlış anlatır.

Basira’da merkezi eğilim ölçüleri

Veri Seti Gezgini, sayısal bir değişkenin histogramını, ortalamasını, ortancasını, standart sapmasını ve çeyreklerini gösterir; ortalamanın düştüğü aralık histogramda bir çizgiyle işaretlenir. Az sayıda farklı değer (2–15) alan sayısal bir değişkenin dağılımı ise yalnızca listede küçük bir grafikle gösterilir; ayrıntı penceresi açılmaz. Bu yazının 10 farklı değer alan verisi de bu gruptadır; bu durumda listede yalnızca ortalama ve standart sapma görülür, ortanca ve çeyrekler gösterilmez. Kategorik bir değişken için sıklık ve yüzde tablosu sıklığa göre azalan sırada açılır; ilk satır modu verir.

Sık sorulan sorular

Ortalama mı ortanca mı raporlamalıyım?

Simetrik dağılan nicel bir değişkende ortalama ve standart sapma; çarpık dağılan ya da aykırı değer içeren bir değişkende ortanca ve çeyrekler arası genişlik raporlanır. Emin değilseniz ikisini birlikte raporlayın.

Bir verinin birden fazla modu olabilir mi?

Evet. İki değer aynı en yüksek sıklıkla görülüyorsa veri iki modludur. Histogramda birbirinden ayrık iki tepe görülüyorsa bu, verinin iki farklı gruptan geldiğinin işareti olabilir.

Ortanca sıralı veride nasıl hesaplanır?

Kategoriler sırasıyla dizilir ve ortadaki gözlemin kategorisi alınır. Örneğin 101 kişilik bir ankette 51. kişinin verdiği yanıt ortancadır.

Gruplandırılmış verinin ortalaması nasıl hesaplanır?

Her sınıfın orta noktası o sınıfın sıklığıyla çarpılır, çarpımlar toplanır ve toplam gözlem sayısına bölünür. Sonuç, ham verinin ortalamasına yalnızca yaklaşıktır.