Çoklu Doğrusal Regresyon: Varsayımlar, Örnek ve Yorum

Çoklu doğrusal regresyon, sürekli bir bağımlı değişkenin iki ya da daha fazla bağımsız değişkenle (yordayıcıyla) nasıl ilişkili olduğunu tek bir modelde inceleyen yöntemdir. Her yordayıcının, diğerleri sabit tutulduğunda sonuçla ilişkisini tahmin eder ve modelin sonuçtaki değişkenliğin ne kadarını açıkladığını R² ile gösterir.

Ne zaman kullanılır?

İki amaçla kullanılır: açıklama (yaş ve beden kitle indeksi kan basıncıyla, birbirlerinin etkisi ayıklandığında da ilişkili mi?) ve tahmin (bir kişinin özelliklerinden kan basıncını kestirmek). Bağımlı değişken sürekli olmalıdır; yordayıcılar sürekli ya da kategorik olabilir (kategorik yordayıcılar kukla değişkenlere çevrilir).

Durum	Uygun yöntem
Sürekli sonuç, tek yordayıcı	Basit doğrusal regresyon
Sürekli sonuç, iki ya da daha fazla yordayıcı	Çoklu doğrusal regresyon
İkili sonuç (evet / hayır)	Lojistik regresyon
Sayım sonucu (olay sayısı)	Poisson ya da negatif binom regresyon
Çok sayıda ve birbiriyle ilişkili yordayıcı, amaç tahmin	Ridge, Lasso ya da makine öğrenmesinde regresyon yöntemleri

Basit regresyondan farkı, her katsayının diğer yordayıcılar sabit tutulduğunda yorumlanmasıdır. Yaş hem kan basıncıyla hem beden kitle indeksiyle ilişkiliyse, basit regresyondaki yaş katsayısı BKİ’nin etkisinin bir kısmını da taşır; çoklu regresyon bu iki etkiyi birbirinden ayırır.

Varsayımlar

Varsayımların çoğu yordayıcılar ya da bağımlı değişken için değil, artıklar (gözlenen − tahmin edilen değer) içindir:

1. Doğrusallık: Her yordayıcı ile sonuç arasındaki ilişki doğrusaldır. Artıkların tahmin edilen değerlere karşı grafiğinde belirgin bir eğri görülmemelidir.
2. Artıkların bağımsızlığı: Gözlemler birbirinden bağımsızdır. Veriler zaman sırasıyla toplandıysa Durbin-Watson istatistiği (Durbin ve Watson, 1950) 2’ye yakın olmalıdır.
3. Eşit varyans (eşvaryanslılık): Artıkların yayılımı tahmin edilen değer arttıkça değişmemelidir; Breusch-Pagan testiyle sınanır (Breusch ve Pagan, 1979).
4. Artıkların normalliği: Artıklar yaklaşık normal dağılır; Q-Q grafiği ve Shapiro-Wilk testiyle bakılır. Bağımlı değişkenin kendisinin normal olması gerekmez. Büyük örneklemlerde bu varsayıma duyarlılık azalır.
5. Aşırı çoklu bağlantı olmaması: Yordayıcılar birbirleriyle çok yüksek korelasyonlu olmamalıdır. Varyans şişirme faktörü (VIF) 1’e yakınsa sorun yoktur; 5 ya da 10’un üzerindeki değerler sık kullanılan uyarı sınırlarıdır, ama bu sınırlar mekanik uygulanmamalıdır (O’Brien, 2007).

Etkili gözlemler bir varsayım değildir ama sonucu belirleyebilir: tek bir gözlem katsayıları belirgin biçimde değiştirebilir; Cook uzaklığıyla incelenir.

Örneklem büyüklüğü için yordayıcı başına en az 10–20 gözlem sık önerilen kaba bir kuraldır; kesin hesap güç analiziyle yapılır.

Hipotezler

Bu bölümde β, kitledeki (bilinmeyen) eğim katsayısını gösterir; örnek tablosundaki β ise standartlaştırılmış katsayıdır.

• Modelin bütünü (F testi): H₀: Bütün eğim katsayıları sıfırdır (β₁ = β₂ = … = βₖ = 0); yani model sonucu hiç açıklamaz. H₁: En az bir katsayı sıfırdan farklıdır.
• Her yordayıcı (t-testi): H₀: βⱼ = 0; diğer yordayıcılar modeldeyken bu yordayıcının sonuçla ilişkisi yoktur.

Bir hipotez testinde olduğu gibi anlamlı olmayan bir katsayı, etkinin sıfır olduğunu kanıtlamaz.

Formül ve hesaplama

Model, k yordayıcılı doğrusal bir denklemdir:

Katsayılar, artıkların kareler toplamını en küçük yapan değerlerdir (en küçük kareler). Matris gösteriminde:

Model uyumu R² = 1 − KT_artık / KT_toplam ile ölçülür; yordayıcı sayısı arttıkça R² hiç düşmediği için düzeltilmiş R² de raporlanır. Standartlaştırılmış katsayı β = b · s_x / s_y, yordayıcıları aynı ölçeğe getirir. Bir yordayıcının VIF’i, o yordayıcı diğerleriyle açıklandığında elde edilen R²ⱼ’den hesaplanır: VIF = 1 / (1 − R²ⱼ) (Cohen vd., 2013).

Çözümlü örnek: kan basıncını ne yordar?

Bir halk sağlığı araştırmacısı, 30–70 yaş arası 80 yetişkinde sistolik kan basıncının (mmHg) yaş, beden kitle indeksi (BKİ) ve haftalık egzersiz süresiyle ilişkisini inceliyor. Veri öğretici amaçla hazırlanmıştır; aşağıdan indirip aynı analizi kendiniz yapabilirsiniz.

sistolik	yas	bki	egzersiz_saat
143	48	24.2	0.9
129	33	27.7	6.2
144	42	25	1.8
152	46	21.8	1.8
152	60	25.3	2.1
122	48	22.6	9.5
119	30	28	2.7
132	50	19.5	2.6
151	59	32.1	2.9
119	30	31.4	1
139	47	22.9	2.8
132	60	22.8	2.2

İlk 12 satır (toplam 80) · Bu örnekteki tüm sayılar SciPy 1.16.3 ile bağımsız olarak yeniden hesaplanır. Veriyi indirin (CSV)

Model: F(3, 76) = 18.80, p < .001; R² = .43, düzeltilmiş R² = .40.

Katsayılar:

Yordayıcı	B	SH	%95 GA	β	t	p	VIF
Sabit	95.42
Yaş (yıl)	0.63	0.10	[0.44, 0.83]	.57	6.41	< .001	1.04
BKİ (kg/m²)	0.71	0.28	[0.14, 1.27]	.22	2.48	.015	1.04
Haftalık egzersiz (saat)	−0.53	0.53	[−1.59, 0.53]	−.09	−1.00	.322	1.00

Artıklar normal dağılımdan ve eşit varyanstan belirgin bir sapma göstermemektedir (Shapiro-Wilk, Breusch-Pagan); VIF değerleri 1’e yakındır. Katılımcılar birbirinden bağımsız seçildiği için gözlemlerin bağımsızlığı desenle sağlanır. Cook uzaklığı üç katılımcıda 4/n = .05 eşiğini aşar (en büyüğü .12; hepsi 1’in altında); üçü birlikte çıkarıldığında katsayılar ve anlamlılık kararları değişmez.

Sonucun yorumu

Model bir bütün olarak anlamlıdır ve kan basıncındaki değişkenliğin %43’ünü açıklar. Diğer değişkenler sabit tutulduğunda:

• Yaş: Her bir yaş, sistolik kan basıncında ortalama 0.63 mmHg artışla ilişkilidir; on yıllık fark yaklaşık 6,3 mmHg demektir. β = .57 ile en güçlü yordayıcıdır.
• BKİ: BKİ’deki her bir birimlik artış, kan basıncında ortalama 0.71 mmHg artışla ilişkilidir.
• Egzersiz: Katsayı negatiftir ama anlamlı değildir ve güven aralığı sıfırı içerir [−1.59, 0.53]. Bu veriyle egzersizin, yaş ve BKİ’den bağımsız bir ilişkisi gösterilememiştir; bu, egzersizin etkisiz olduğu anlamına gelmez.

Sabit terim (95.42), bütün yordayıcılar sıfırken beklenen değerdir; yaşı ve BKİ’si sıfır olan bir kişi olmadığı için burada yorumlanmaz. Bu kesitsel bir çalışmadır: katsayılar ilişkiyi gösterir, nedenselliği değil.

APA 7’ye göre raporlama

Katsayı tablosu (B, SH, GA, β, t, p) ve varsayım kontrollerinin sonucu raporda ayrıca verilir.

Sık yapılan hatalar

Alternatif yöntemler

• Lojistik regresyon: Sonuç ikili kategorikse.
• Hiyerarşik (bloklu) regresyon: Yordayıcı blokları kuramsal bir sırayla eklenecek ve her bloğun R² katkısı sınanacaksa.
• Sağlam (robust) standart hatalar: Eşit varyans varsayımı bozulduğunda.
• Ridge ve Lasso: Çok sayıda ve birbiriyle ilişkili yordayıcı varsa ve amaç tahminse.
• Karma etkili modeller: Gözlemler gruplar içinde iç içeyse (öğrenciler sınıflarda, ölçümler kişilerde).

Basira’da çoklu doğrusal regresyon nasıl yapılır?

1. Yukarıdaki örneğin verisini Veriyi indirin (CSV) bağlantısından indirin; dosya sistolik, yas, bki ve egzersiz_saat sütunlarıyla gelir. Basira’da Veri Setlerim → Yeni Veri Seti Yükle ile yükleyin.
2. Analiz Stüdyosu’nda sol menünün Hipotez Testleri grubundaki Regresyon Analizi sayfasından Doğrusal Regresyon’u açın ve Akıllı Mod’u seçin (sağdaki ayar panelinin başlığı Akıllı Asistan Modu olur).
3. Bağımlı Değişken olarak sistolik, Ortak Değişkenler (Sürekli) olarak yas, bki ve egzersiz_saat’i seçin. Kategorik yordayıcılar Faktörler (Kategorik) alanına girer.
4. Sonuçlarda model uyumu (R, R², düzeltilmiş R², AIC, BIC, RMSE), F testi, katsayılar (B, SE, β, sr², t, p, %95 GA; dipnotta SE “SH” olarak açıklanır), varsayım kontrolleri (Shapiro-Wilk, Breusch-Pagan, Durbin-Watson, VIF, Cook’s Distance) ve artık grafikleri birlikte gelir.

R’de aynı model lm(sistolik ~ yas + bki + egzersiz_saat), Python’da statsmodels ile; SPSS, jamovi ve JASP’te menülerden kurulur.

Sık sorulan sorular

R² ne kadar olmalı?

Tek bir eşik yoktur; alana ve sonucun ne kadar çok etkene bağlı olduğuna göre değişir. İnsan davranışı ve sağlıkla ilgili sonuçlarda düşük ya da orta düzeyde R² değerleri olağandır; denetimli fiziksel süreçlerde çok daha yüksek değerler beklenir. R²’nin düşük olması anlamlı ilişkileri geçersiz kılmaz.

B ile β arasındaki fark nedir?

B ölçü birimindeki etkiyi (mmHg / yıl) gösterir ve yorum için kullanılır; β ise bütün değişkenler standart sapma birimine çevrildiğinde elde edilir ve yordayıcıların göreli gücünü karşılaştırmaya yarar.

Kategorik bir yordayıcı ekleyebilir miyim?

Evet. k kategorili bir değişken k − 1 kukla değişkenle modele girer; her katsayı o kategorinin seçilen referans kategoriye göre farkını gösterir.

Çoklu bağlantı varsa ne yapmalıyım?

Birbirine çok benzeyen yordayıcılardan birini çıkarmak, ikisini tek bir puanda birleştirmek ya da ridge regresyon kullanmak yaygın çözümlerdir. Amaç yalnızca tahminse çoklu bağlantı daha az sorundur.